万能公式与参数方程

前情概要

有一定时间，高中的教材对万能公式不做要求，现行的教材中，对万能公式的要求又遮遮掩掩的。

万能公式

三角万能公式[由于\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\) 都可以用 \(t=\tan\frac{\theta}{2}\)来刻画，换句话说，我们用 \(t\) 可以刻画任意一种三角函数，故称之为万能公式]，高考中不做考察要求；(其中\(\theta\neq 2k\pi+\pi\)，且\(\theta\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)；)

$\sin\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\cos\theta=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\tan\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}$

若令 \(\tan\cfrac{\theta}{2}=t\)，则 上述公式变得更加规整：

$\sin\theta=\cfrac{2t}{1+t^2}\quad\cos\theta=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\quad\tan\theta=\cfrac{2t}{1-t^2}$

稍微引申一下，可以得到以下这些内容，现行的高中学生不需要掌握

$\sec\theta=\cfrac{1}{\cos\theta}=\cfrac{1+t^2}{1-t^2}\quad\csc\theta=\cfrac{1}{\sin\theta}=\cfrac{1+t^2}{2t}\quad\cot\theta=\cfrac{1}{\tan\theta}=\cfrac{1-t^2}{2t}$

圆的参数方程

1️⃣：方式一

\(\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)

2️⃣：方式二，参照万能公式，可得如下参数方程，具体过程参照教材

\(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{(1-t^2)r}{1+t^2}\\y=\cfrac{2tr}{1+t^2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)

不过这个参数方程表示的圆，没有点\((-2,0)\)，范围都限制到 \((-1000\pi,1000\pi)\) 了，都没有这个点。

椭圆的参数方程

1️⃣：方式一

\(\left\{\begin{array}{l}x=3\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)

2️⃣：方式二，参照万能公式，可得如下参数方程，具体过程参照教材

\(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{3(1-t^2)}{1+t^2}\\y=\cfrac{4\times 2t}{1+t^2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)

典例剖析

求函数 \(y=\cfrac{2\cos x+2}{\sin x-3}\) 的值域；

解法1️⃣：几何意义法【斜率法，最直观】，但是由于现行教材的教授范围限制，学生不一定知道圆的参数方程，故此法不通用。

先将已知式子作适当的变形，\(y=\cfrac{2(\cos x+1)}{\sin x-3}=2\times\cfrac{\cos x-(-1)}{\sin x-3}\)

编者注：此时表达式 \(\cfrac{\cos x-(-1)}{\sin x-3}\)\(=\)\(\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，可以看成动点 \(P(\sin x,\cos x)\) 与定点 \(A(3,-1)\) 连线的斜率，由动点坐标可知 \(P(\sin x,\cos x)\) 为单位圆上的动点^[1]，即单位圆上的动点 \(P\) 与定点\(A(3,-1)\) 所连线段的斜率，这样就给代数表达式赋予了形的直观，便于我们从形上理解和计算。

设经过定点 \(A\) 的直线 \(l\) 为 ：\(y+1=k(x-3)\)，即 \(kx-y-3k-1=0\)，以下分两个求解思路来表述：

其一，联立得到方程组，\(\left\{\begin{array}{l}kx-y-3k-1=0\\x^2+y^2=1\end{array}\right.\)，消去 \(y\)

变形整理得到，\((k^2+1)x^2-(6k^2+2k)x+9k^2+6k=0\)，

由直线和圆相切可知 \(\Delta=0\)，[当曲线变为椭圆时，这个思路就能起作用了]

即 \((6k^2+2k)^2-4(k^2+1)(9k^2+6k)=0\)，化简为 \(k(4k+3)=0\)，解得 \(k=0\) 或 \(k=-\cfrac{3}{4}\)，

即直线 \(l\) 的斜率变化范围是 \([-\cfrac{3}{4},0]\)，而 \(y=2\times\cfrac{\cos x-(-1)}{\sin x-3}\)，

故 \(y\) 的变化范围是 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\)，即所求函数的值域为 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) .

其二，利用圆心到直线距离小于等于半径，可以得到 \(\cfrac{|-3k-1|}{\sqrt{k^2+1}}\le 1\)

去分母，两边同时平方，化简整理得到，\(4k^2+3k\leq 0\)，

即直线 \(l\) 的斜率变化范围是 \([-\cfrac{3}{4},0]\)，而 \(y=2\times\cfrac{\cos x-(-1)}{\sin x-3}\)，

故 \(y\) 的变化范围是 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\)，即所求函数的值域为 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) .

①很显然，第二个思路的运算量要小得多，这是需要引起我们注意的地方。但是当曲线变为椭圆时，这个思路就不能起作用了；②这个解法仅仅适用于\(y\)\(=\)\(\cfrac{a\sin x+c}{b\cos x+d}\)，或 \(y\)\(=\)\(\cfrac{a\cos x+c}{b\sin x+d}\)，对于这个类型 \(y\)\(=\)\(\cfrac{a\sin x+b\cos x+c}{d\sin x+e\cos x+f}\) 是不能通用的。

解法2️⃣：辅助角公式法【万能通用方法】，适合现行学生的知识范畴，需要熟练掌握辅助角公式，推荐给现在学生的解法。

由 \(y=\cfrac{2\cos x+2}{\sin x-3}\)，整理得到 \(y\sin x-2\cos x=3y+2\)

左边用化一法，变形为 \(\sqrt{y^2+4}\sin(x-\varphi)=3y+2\)，

即 \(\sin(x-\varphi)=\cfrac{3y+2}{\sqrt{y^2+4}}\)，由正弦函数的有界性 \(|\sin\alpha|\leq 1\)，

\(|3y+2|\leq \sqrt{y^2+4}\)，两边平方后解出，\(y\in\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right]\)

即所求函数的值域为 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) .

①这个解法既适用于\(y\)\(=\)\(\cfrac{a\sin x+c}{b\cos x+d}\)，或 \(y\)\(=\)\(\cfrac{a\cos x+c}{b\sin x+d}\)，也适用 \(y\)\(=\)\(\cfrac{a\sin x+b\cos x+c}{d\sin x+e\cos x+f}\)，运算量也不是很大 。

解法3️⃣：万能公式代换法，由于学生的认知限制，学生不一定知道万能公式。

当 \(\cos x=-1\) 时，\(y=0\)；当 \(\cos x\neq -1\) 时，作如下的代换，

令 \(t\)\(=\)\(\tan\dfrac{x}{2}\)\(\in\)\(R\)，则 \(\sin x\)\(=\)\(\cfrac{2t}{1+t^2}\)，\(\cos x\)\(=\)\(\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\) ^[2]，

代入原函数，化为有理函数 \(y=\cfrac{4}{-3t^2+2t-3}\)，

接下来，也可以按照两个思路来求解，

其一，将函数变形为 \(3y\cdot t^2-2y\cdot t+3y+4=0\)，

由于定义域为 \(R\)，又 \(y\neq 0\)，故上述方程为关于 \(t\) 的二次方程一定有解，

由判别式法可知，\(\Delta=(-2y)^2-4\times3y\times(3y+4)\geq 0\)，

解得， \(y\in\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right]\)，又由于 \(y\neq 0\)，即 \(y\in\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right)\)，

再结合单独讨论的情形，可知 \(y\in\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right]\)，

即所求函数的值域为 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) .

其二，由 \(y=\cfrac{4}{-3t^2+2t-3}\)，由于 \(h(t)=-3t^2+2t-3\in(-\infty,-\cfrac{8}{3}]\)，

故 \(y\)\(=\)\(\cfrac{4}{h(t)}\)\(\in\)\(\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right)\)，

再结合单独讨论的情形，可知 \(y\in\left[-\cfrac{3}{2},\ 0\right]\)，

即所求函数的值域为 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) .

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1. ①单位圆 \(x^2+y^2=1\) 上的动点的坐标，既可以设为 \((x,y)\)，也可以设为 \((\cos\theta,\sin\theta)\)，这是圆的参数方程的表示形式，遗憾的是，现行的高中数学教材，删除了参数方程的学习，使得圆上动点的坐标设法越来越少；当然也可以设为 \((\sin\beta,\cos\beta)\)，此时两种参数方程的参数就是不一样的而已。此处设为 \((\sin\beta,\cos\beta)\) 是最恰当的，也是计算最简洁的做法。
   ②聪明的读者估计已经能猜到，函数 \(y=\cfrac{2\sin x+2}{\cos x-3}\) 的值域也是 \(\left[-\cfrac{3}{2},0\right]\) . ↩︎

2. 注意，这个是非等价变形，原因是 \(\cos x\in [-1,1]\)，但是 \(\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\in(-1,1]\)，故这个变形不等价，所以这样的代换需要单独讨论 \(\cos x=-1\) 的情形； ↩︎