万能公式与参数方程

前情概要

万能公式

三角万能公式[由于\(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\) 都可以用 \(t=\tan\frac{\theta}{2}\)来刻画，故称之为万能公式]，高考中不做考察要求；(其中\(\theta\neq 2k\pi+\pi\)，且\(\theta\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)；)

$\sin\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\cos\theta=\cfrac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$；$\tan\theta=\cfrac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}$

若令 \(\tan\cfrac{\theta}{2}=t\)，则 上述公式变得更加规整：

$\sin\theta=\cfrac{2t}{1+t^2}\quad\cos\theta=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\quad\tan\theta=\cfrac{2t}{1-t^2}$

圆的参数方程

1️⃣：方式一

\(\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)

2️⃣：方式二，参照万能公式，可得如下参数方程，具体过程参照教材

\(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{(1-t^2)r}{1+t^2}\\y=\cfrac{2tr}{1+t^2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)

不过这个参数方程表示的圆，没有点\((-2,0)\)，范围都限制到 \((-1000\pi,1000\pi)\) 了，都没有这个点。

椭圆的参数方程

1️⃣：方式一

\(\left\{\begin{array}{l}x=3\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{array}\right.\) (\(\theta\) 为参数)

2️⃣：方式二，参照万能公式，可得如下参数方程，具体过程参照教材

\(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{3(1-t^2)}{1+t^2}\\y=\cfrac{4\times 2t}{1+t^2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)