双十字相乘法梳理总结

前情概要

• 我们以简单具体的一元二次三项式 \(2x^2+3x-2\) 的分解为例，复习回顾十字相乘法的使用：

先将二次项的系数 \(2\) 进行分解 \(2\times 1\) ，再将常数项 \(-2\) 进行分解 \(-2\times 1\) ，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：

比如书写为 \(\large\displaystyle_1^2\times_{\;\;1}^{-2}\) ，验证， \(2\times1+1\times(-2)=0\neq 3\) ，故分解失败，需要调整，如下再试，

\(\large\displaystyle_2^1\times_{\;\;1}^{-2}\) ，验证， \(1\times1+2\times(-2)=-3\neq 3\) ，故分解失败，需要调整，如下再试，

\(\large\displaystyle_2^1\times_{-1}^{\;\;2}\) ，验证， \(1\times(-1)+2\times 2=3\) ，分解成功，

添加未知数，直接写出两个因式，即 \(_{2\cdot x}^{1\cdot x}\) \(\times\) \(_{-1}^{+2}\) ，然后横行写出， \((1x+2)(2x-1)\) ；

故 \(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\)。

• 十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次尝试，以及一定的口算心算能力。提前声明：对于高考备考的学生而言，以下的双十字相乘法，几乎没有用到的时候，不必多虑。本博文整理其用意，主要是基于拓展思维之用。

双十字相乘法

双十字相乘法的核心应用场景是二元二次多项式的因式分解，同时也可拓展用于部分一元高次多项式（如四次、六次）的分解，本质是通过“十字交叉匹配系数”的方式，把复杂多项式拆成两个低次多项式的乘积。

【具体案例】分解多项式 \(x^2 + 2xy - 3y^2 + 3x + y + 2\)

解：首先分解二次项，用十字相乘法分解得到 \(x^2+2xy-3y^2=(x+3y)(x-y)\)

$\large\displaystyle_1^1\times_{-1}^{\;\;3}$ $\qquad$ $\Rightarrow$ $\qquad$ $\large\displaystyle_{1\cdot x}^{1\cdot x}\times_{-1\cdot y}^{\;\;3\cdot y}$

其次，用双十字交叉匹配一次项和常数项，第一列和第三列交叉相乘再相加，验证 \(x\) 的一次项，第二列和第三列交叉相乘再相加，验证 \(y\) 的一次项，

$\large\displaystyle_{x}^{x}\times_{-y}^{\;3y}\large\displaystyle\times_{\;2}^{\;1}$

交叉验证：\(x\times2+x\times1=3x\)，\(3y\times2+(-y)\times1 = 5y\)（不匹配，调整常数项）

$\large\displaystyle_{x}^{x}\times_{-y}^{\;3y}\large\displaystyle\times_{\;1}^{\;2}$

验证：\(x\times1 + x\times2 = 3x\)，\(3y\times1 + (-y)\times2 = y\)，完全匹配

结果：\(x^2+2xy-3y^2+3x+y+2=(x+3y+2)(x-y+1)\)

【解后反思】：对于二元二次多项式的一般形式为 \(ax^2\)\(+\)\(bxy\)\(+\)\(cy^2\)\(+\)\(dx\)\(+\)\(ey\)\(+\)\(f\)，满足条件：二次项部分 \(ax^2+bxy+cy^2\) 能分解为两个一次式的乘积，且整体可配成 \((m_1x+n_1y+p_1)(m_2x+n_2y+p_2)\) 的形式。

拓展场景

上述方法可以拓展到 一元四次多项式 的因式分解，对于首项系数为 \(1\) 的一元四次多项式 \(x^4+px^3+qx^2+rx+s\)，若满足可分解为两个二次三项式的乘积，即 \(x^4\)\(+\)\(px^3\)\(+\)\(qx^2\)\(+\)\(rx\)\(+\)\(s\)\(=\)\((x^2+ax+b)\)\((x^2+cx+d)\)，可通过双十字交叉的思路匹配系数；

适用条件

① 常数项 \(s = b \times d\)，首项系数为 \(1\) ，若不为 \(1\) ，可以通过提取公因数的方法调整为 \(1\)，如 \(2x^4-3x^3+4x^2-3x+5\)\(=\)\(2(x^4-\cfrac{3}{2}x^3+2x^2-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{5}{2})\)，小括号里面的就是首项系数为 \(1\) 的一元四次多项式了；

② 三次项系数 \(p = a + c\)，一次项系数 \(r = ad + bc\)；

③ 二次项系数 \(q = ac + b + d\)。

【知乎问题】求解方程 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3=0\)

解：要对四次方程 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3=0\) 用双十字因式分解，核心思路是先把它拆成两个二次三项式的乘积，再验证系数匹配性。

由于四次多项式首项系数为 \(1\)，常数项为 \(3\)，设：\(x^4+2x^3-3x^2-4x+3\)\(=\)\((x^2+ax+1)(x^2+bx+3)\) 或 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3\)\(=\)\((x^2+ax-1)(x^2+bx-3)\)

接下来，展开并对比系数

先尝试第一种形式 \((x^2+ax+1)(x^2+bx+3)\)，

展开右侧：\(x^4+(a+b)x^3+(ab+4)x^2+(3a+b)x+3\) 与原式 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3\) 对比系数，列方程组：

\[\begin{cases} a+b=2 \\ ab+4=-3 \\ 3a+b=-4 \end{cases} \]

由 \(a+b=2\) 和 \(3a+b=-4\)，相减得 \(2a=-6 \Rightarrow a=-3\)，代入得 \(b=5\)。

验证 \(ab+4 = (-3)\times5+4=-11 \neq -3\)，不成立。

再尝试第二种形式 \((x^2+ax-1)(x^2+bx-3)\)，

展开右侧：\(x^4+(a+b)x^3+(ab-4)x^2+(-3a-b)x+3\)，对比系数列方程组：

\[\begin{cases} a+b=2 \\ ab-4=-3 \\ -3a-b=-4 \end{cases} \]

由 \(a+b=2\) 和 \(-3a-b=-4\)，相加得 \(-2a=-2 \Rightarrow a=1\)，代入 \(a+b=2\) 得 \(b=1\)，验证 \(ab-4=1\times1-4=-3\)，完全匹配

则可以确定因式分解结果：\(x^4+2x^3-3x^2-4x+3=(x^2+x-1)(x^2+x-3)\)

最后，令 \((x^2+x-1)(x^2+x-3)=0\)，再分别解两个一元二次方程，

由 \(x^2+x-1=0\) 得到，根为 \(x=\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，

由 \(x^2+x-3=0\) 得到，根为 \(x=\cfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)，

故最终方程的解为：

\(x_1=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)，\(x_2=\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)，\(x_3=\cfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\)，\(x_4=\cfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\)

延伸场景

我们可以借助双十字相乘法，依托降次策略来解对应的方程。比如：

二元二次方程 \(ax^2\)\(+\)\(bxy\)\(+\)\(cy^2\)\(+\)\(dx\)\(+\)\(ey\)\(+\)\(f\)\(=\)\(0\)，分解后可转化为两个一次方程，对应两条直线；

引例，比如解方程 \(x^2+2xy-3y^2+3x+y+2=0\)，由于 \(x^2+2xy-3y^2+3x+y+2\)\(=\)\((x+3y+2)(x-y+1)\)，故转化为求解 \(x+3y+2=0\) 或 \(x-y+1=0\)，而 \(x+3y+2=0\) 或 \(x-y+1=0\) 分别对应直角坐标系中的两条直线。

一元四次方程 \(x^4\)\(+\)\(px^3\)\(+\)\(qx^2\)\(+\)\(rx\)\(+\)\(s\)\(=\)\(0\)，分解为两个二次方程后，用求根公式求解。

引例，比如解方程 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3=0\) ，由于 \(x^4+2x^3-3x^2-4x+3\)\(=\)\((x^2+x-1)(x^2+x-3)\)，故 转化为求解 \(x^2+x-1=0\) 或 \(x^2+x-3=0\)，降次为求解两个一元二次方程的根，可用求根公式求解。

不适用场景

二元二次多项式的二次项部分 \(ax^2\)\(+\)\(bxy\)\(+\)\(cy^2\) 不能分解为两个一次式（判别式 \(b^2-4ac< 0\)）；

一元高次多项式无法拆成同次多项式的乘积（如 \(x^4+x^2+1\) 需用添项法分解，而非双十字，再比如 \(x^2+(x^2+2x)^2=18\)）。

联系区别

十字相乘法和双十字相乘法的核心区别在于适用对象、分解维度和操作步骤，二者是“基础方法”与“拓展方法”的关系，具体对比如下：

对比维度	十字相乘法	双十字相乘法
适用对象	一元二次多项式 \(ax^2+bx+c\)；可分解为 \((m_1x+n_1)(m_2x+n_2)\)	二元二次多项式 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\)；部分可分解的一元四次多项式
分解维度	单维度（仅针对 \(x\) 的二次项、一次项、常数项）	双维度（同时处理 \(x\)、\(y\) 的二次项、一次项、常数项）
操作步骤	1. 拆分二次项系数 \(a=m_1m_2\)，常数项 \(c=n_1n_2\) 2. 十字交叉相乘再相加，结果等于一次项系数 \(b=m_1n_2+m_2n_1\) 3. 直接写出因式分解结果	1. 先对二次项部分 \(ax^2+bxy+cy^2\) 用十字相乘法分解为 \((m_1x+n_1y)(m_2x+n_2y)\) 2. 再对常数项 \(f\) 拆分，做第二次十字交叉，匹配 \(x\)、\(y\) 的一次项系数 \(d\)、\(e\) 3. 整合得到最终的二元一次因式乘积
核心目的	实现一元二次多项式的降次分解	实现二元二次多项式的降维分解，或一元四次多项式的二次因式分解