再议求函数定义域中的一类难懂易错题目

前情概要

在高一数学的学习中，开学伊始，往往会学到函数的概念，虽说学生对此并不陌生，但要真正理解还不是一件简单的事情。尤其是碰到求函数定义域中的一类难懂易错题目，往往非常容易出错。以下借助具体题目展开说明。

比如，已知函数 \(f(x)\) 的定义域是\([-1，1]\)，求函数 \(f(2x+1)\) 的定义域；这就是高一数学中很经典的一道题目。对于有些高三复习的学生，也未必会求解。首先需要廓清其中的好多难点。

廓清难点

① 函数 \(f(x)\) 或函数 \(f(2x+1)\) 的自变量到底是什么 ?

从函数的概念出发来寻找答案...

函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。

传统定义：设在某个运动变化过程中有两个变量 \(x\) 、\(y\)，如果对于 \(x\) 在某一范围内的每一个确定的值， \(y\) 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 \(y\) 是 \(x\) 的函数， \(x\) 叫做自变量。我们将自变量 \(x\) 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 \(x\) 对应的 \(y\) 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

近代定义：设 \(A\) ，\(B\) 都是非空的数集，\(f：x→y\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的一个对应法则，那么从 \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(f：A→B\) 就叫做函数，记作 \(y=f(x)\)，其中 \(x∈A\)， \(y∈B\)，原象的集合 \(A\) 叫做函数 \(f(x)\) 的定义域，象的集合 \(C\) 叫做函数 \(f(x)\) 的值域，显然有\(C\subseteq B\)由于集合 \(B\) 中的元素不要求每一个都有原像的，而集合 \(A\) 中的每一个元素必须都有像，而且必须唯一；\(\quad\)。

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集 \(A\) 到非空数集 \(B\) 的一个特殊的映射。

说人话就是，原象的集合 \(A\) 就是自变量 \(x\) 取值的集合，故函数的定义域应该是自变量的取值范围。

回到上述问题上来，容易理解的是函数 \(f(x)\) 的自变量是 \(x\)，基本没有异议；但是函数 \(f(2x+1)\) 的自变量到底是 \(x\) 呢还是 \(2x+1\)，这个要弄清楚，不容忽视。判断的一个大原则是：看引起变化的最初的那个变量是谁，谁就是自变量。

为便于理解，我们举个具体例子，比如函数 \(f(x)=x^3\)，那么 \(f(2x+1)\) \(=\) \((2x+1)^3\)，容易看出来，对于 \(f(2x+1)\) 而言，由 \(x\) \(\Rightarrow\) \(2x+1\) 就是个函数，记为 \(g(x)=2x+1\)，我们常常称 \(g(x)=2x+1\) 其为内函数，然后在此基础上，将 \(g(x)\) 的取值范围，也就是 \(g(x)\) 的值域，再次作为自变量，接受对应法则 \(f\) 的作用，得到 \(f(2x+1)\) 的函数值，整体来看，最原始的自变量应该是 \(x\)，\(2x+1\) 不过是中间的搭桥的变量，所以我们说，函数 \(f(2x+1)\) 的自变量到底是 \(x\) .

② 函数 \(f(x)\) 或函数 \(f(2x+1)\) 的定义域到底是什么 ?

函数 \(f(x)\) 的定义域[原始概念中是自变量的取值范围]指的是 \(x\) 的取值范围，即 \(-1\leq x\leq 1\)；而函数 \(f(2x+1)\) 的定义域也指的是 \(x\) 的取值范围，而不是 \(2x+1\) 的范围 .为什么呢？解释01；解释02

③ 对于函数 \(f(x)\) 与 \(f(2x+1)\) 而言，两个部分 \(x\) 与 \(2x+1\) 二者对等 .

由于 \(x\) 和 \(2x+1\) 都接受相同的法则制约，故对应法则 \(f\) 作用的两个部分 \(x\) 和 \(2x+1\) ，它们的活动范围应该是一致的、相同的。所以说 \(x\) 与 \(2x+1\) 二者对等；刚才说对 \(f(2x+1)\) 而言，\(y=2x+1\) 为内函数，即内函数的值域与 \(f(x)\) 的定义域是一致的，相同的。

引例，\(f(x)=\sqrt{x}\)，那么函数的定义域是 \(x\in[0,+\infty)\)，那么 \(f(2x+1)\) 的内函数 \(2x+1\) 的值域，其活动范围也必须是 \(2x+1\in[0,+\infty)\)，否则可能导致 \(f(2x+1)\) 没有意义。

典例剖析

已知函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(2x+1)\)的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：

其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，

其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，

据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，

解上述不等式得到，\(-1\leq x\leq 0\)，故函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。

已知函数 \(f(x+1)\) 的定义域是 \([0，1]\)，求函数 \(f(2^x-2)\) 的定义域。

分析：这里同样你得清楚 \(x+1\) 和 \(2^x-2\) 是对等的，

先由 \(x\in[0，1]\)，计算得到 \(1\leq x+1\leq 2\)，

又由于 \(x+1\) 和 \(2^x-2\) 是对等的，故 \(1\leq 2^x-2\leq 2\)，

解得 \(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以 \(2\) 为底的对数得到 \(log_2^3\leq x\leq 2\)，

则所求定义域是 \(x\in [log_2^3，2]\)。

已知函数 \(f(2x+1)\) 的定义域是 \([-1，1]\) ，求函数 \(f(x)\) 的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，

即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，

故内函数 \(2x+1\) 的取值范围[也就是内函数 \(2x+1\) 的值域]这样求解，

由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，所以\(-1\leq 2x+1 \leq 3\)，

又由于 \(2x+1\) 和 \(x\) 对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以 \(f(x)\) 的 \(x\) 的取值范围应该是 \(-1\leq x\leq 3\)，

即函数 \(f(x)\) 的定义域是 \([-1，3]\)。

易用结论

① \(f(x)\) 与 \(f(3x-1)\) 的自变量都是单独的变量 \(x\)，不管题目是已知某个函数的自变量是什么，还是求解某个函数的自变量，都是针对单独的自变量 \(x\) 而言；

② 若给定函数 \(h(x)\)，已知其定义域为 \(x\in D\)，那么对于 \(h(t^2-1)\) 与 \(h(\log_2t+5)\) 与 \(h(2^t-1)\)而言，必须有 \(t^2-1\)\(\in\)\(D\)， \(\log_2t+5\)\(\in\)\(D\)， \(2^t-1\)\(\in\)\(D\)，即这三个整体的值域是相同的，或者说 这三个是对等的。

小试牛刀

已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{2-x}\),求函数\(f(\cfrac{x}{2})+f(\cfrac{2}{x})\)的定义域；

分析：由上知，函数\(f(x)\)的定义域为\(x\in(-2，2)\)，故和自变量\(x\)对等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必须在这个范围内，

则有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。