立几微专题 | 立几中 π/2 的给出方式总结梳理

前情概要

在证明线线、线面和面面垂直时，我们需要在题目中产生 \(\pi/2\) ，那么哪些情形中都会涵盖 \(\pi/2\) 呢？

途径总结梳理

🅐 利用勾股定理，边的关系产生直角，此时常常关联到勾股数， 了解更多的勾股数知识

高中阶段常用的涉及整数的勾股数有：\([3n，4n，5n(n\in N^*)]\)；\([5，12，13]\)；\([7，24，25]\)；\([8，15，17]\)；\([9，40，41]\)；

涉及根式的勾股数有：\([1，1，\sqrt{2}]\)；\([1，\sqrt{3}，2]\)；\([1，2，\sqrt{5}]\)；\([1，3，\sqrt{10}]\)；\([1，7，5\sqrt{2}]\)；

特殊组合：连续的勾股数只有：\(3，4，5\)；连续的偶数勾股数只有：\(6，8，10\)；

🅑 利用内角和，由角的比例关系产生直角:

比如三角之比 \(1:2:3\) 对应三角形的三个角为[\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:1:2\) 对应三角形的三个角为[\(45^{\circ}\),\(45^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:4:5\) 对应三角形的三个角为[\(18^{\circ}\),\(72^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:5:6\) 对应三角形的三个角为[\(15^{\circ}\),\(75^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，等等；

🅒 等腰 \(\triangle\) 或 等边 \(\triangle\) 三线【底边的中线、顶角的角平分线、底边的高线】合一会产生直角；

🅓 线面垂直性质定理、面面垂直性质定理；

🅔 三垂线定理及逆定理；平面内一直线若与一条斜线在该平面内的射影垂直，则必与斜线本身垂直；口诀“线射垂”

🅕 圆的直径所对的圆周角，垂径定理；或 \(MA=MB=MC\)，\(\Rightarrow\) \(\angle ABC=90^{\circ}\)

🅖 正三棱锥三组对棱隐性垂直；

🅗 共用一边的两个等腰三角形，其一组对棱 \(AD\) 与 \(BC\) 垂直 ；

🅘 菱形、正方形的对角线夹角，正方形、长方形的内角；

🅙 向量法：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(AB\perp AC\)

🅚 墙角模型，或直三面角

🅛 正四面体中，任一组对棱（非共顶点的两棱）互相垂直

🅜 四直角四面体（鳖臑）

🅝 直棱柱/直圆柱的侧棱与底面垂直；直棱锥/直圆锥的高线与底面垂直；

🅞 直二面角的常见模型：直立于地面的墙面与地面垂直；正方体中三组相邻面两两垂直；当一个平面通过另一平面的垂线时，两平面垂直。

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