立几微专题 | 立几中 π/2 的给出方式总结梳理

前情概要

在证明线线、线面和面面垂直时，我们需要在题目中产生 \(\pi/2\) ，那么哪些情形中都会涵盖 \(\pi/2\) 呢？

途径总结梳理

🅐 利用勾股定理，边的关系产生直角，此时常常关联到勾股数， 了解更多的勾股数知识

高中阶段常用的涉及整数的勾股数有：\([3n，4n，5n(n\in N^*)]\)；\([5，12，13]\)；\([7，24，25]\)；\([8，15，17]\)；\([9，40，41]\)；

涉及根式的勾股数有：\([1，1，\sqrt{2}]\)；\([1，\sqrt{3}，2]\)；\([1，2，\sqrt{5}]\)；\([1，3，\sqrt{10}]\)；\([1，7，5\sqrt{2}]\)；

特殊组合：连续的勾股数只有：\(3，4，5\)；连续的偶数勾股数只有：\(6，8，10\)；

🅑 利用内角和，由角的比例关系产生直角:

比如三角之比 \(1:2:3\) 对应三角形的三个角为[\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:1:2\) 对应三角形的三个角为[\(45^{\circ}\),\(45^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:4:5\) 对应三角形的三个角为[\(18^{\circ}\),\(72^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，

三角之比 \(1:5:6\) 对应三角形的三个角为[\(15^{\circ}\),\(75^{\circ}\),\(90^{\circ}\)]，等等；

🅒 等腰 \(\triangle\) 或 等边 \(\triangle\) 三线【底边的中线、顶角的角平分线、底边的高线】合一会产生直角；

🅓 线面垂直性质定理、面面垂直性质定理；

🅔 三垂线定理及逆定理；平面内一直线若与一条斜线在该平面内的射影垂直，则必与斜线本身垂直；口诀“线射垂”

🅕 圆的直径所对的圆周角，垂径定理；或 \(MA=MB=MC\)，\(\Rightarrow\) \(\angle ABC=90^{\circ}\)

🅖 正三棱锥三组对棱隐性垂直；

🅗 共用一边的两个等腰三角形，其一组对棱 \(AD\) 与 \(BC\) 垂直 ；

🅘 菱形、正方形的对角线夹角，正方形、长方形的内角；

🅙 向量法：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(AB\perp AC\)

🅚 墙角模型，或直三面角

🅛 正四面体中，任一组对棱（非共顶点的两棱）互相垂直

🅜 四直角四面体（鳖臑）

🅝 直棱柱/直圆柱的侧棱与底面垂直；直棱锥/直圆锥的高线与底面垂直；

🅞 直二面角的常见模型：直立于地面的墙面与地面垂直；正方体中三组相邻面两两垂直；当一个平面通过另一平面的垂线时，两平面垂直。

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豆包补充

以下内容是咨询豆包后，补充完善的内容，有空再整理其格式，先把内容统一到一起。

要补充立体几何中能产生 \(\frac{\pi}{2}\)（即90°，垂直关系）的角度来源，需先结合立体几何的核心考点（线线、线面、面面垂直的判定与性质），梳理常见且易被忽略的场景，以下是系统补充的角度及逻辑推导：

一、基础定义衍生的“隐藏垂直”（易被忽略的定义隐含条件）

1. 异面直线垂直的定义延伸
   若题目给出“两条异面直线的公垂线段长度为某值”，或“异面直线所成角为 \(\frac{\pi}{2}\)”，直接隐含垂直关系；更隐蔽的是“一条直线与另一条直线所在平面平行，且这条直线垂直于平面内某条直线”——虽不直接垂直，但可通过线面平行性质推导垂直（如直线 \(l \parallel\) 平面 \(\alpha\)，\(m \perp \alpha\)，则 \(l \perp m\)）。

2. 二面角的“特殊值隐含”
   若题目给出“二面角的平面角为 \(\frac{\pi}{2}\)”，直接对应面面垂直；但更易忽略的是“二面角的余弦值为0”“二面角的平面角所在三角形为直角三角形且斜边为两个面的交线”，本质均为二面角为 \(\frac{\pi}{2}\)。

二、几何体性质自带的垂直（易被遗忘的结构特征）

1. 常见多面体的“天然垂直”

   • 长方体/正方体：棱与面垂直（如长方体的侧棱垂直于上下底面，任意一条侧棱与底面内的所有直线垂直）、面对角线垂直（如正方体的面对角线互相垂直，夹角为 \(\frac{\pi}{2}\)）；
   • 正棱锥：顶点在底面的投影为底面中心，故侧棱与底面内垂直于投影连线的直线垂直（如正三棱锥的侧棱与底面内过中心且垂直于侧棱投影的直线垂直）；
   • 直棱柱：侧棱垂直于底面，侧棱与底面内所有直线垂直，侧面与底面垂直（二面角为 \(\frac{\pi}{2}\)）。

2. 旋转体的“轴垂直特征”

   • 圆柱：母线垂直于底面，母线与底面内所有直线垂直，轴截面（过轴的截面）为矩形，邻边垂直（夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）；
   • 圆锥：轴垂直于底面，轴与底面内所有直线垂直，轴截面为等腰三角形，若底面直径等于母线长，则轴截面为等腰直角三角形（顶角或底角为 \(\frac{\pi}{2}\)）；
   • 球：球的半径与过半径端点的切面垂直（切面与半径夹角为 \(\frac{\pi}{2}\)），若两个球面相切，球心连线与公切面垂直（夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。

三、向量与坐标法中的“隐性垂直条件”（代数推导的隐藏角度）

1. 向量点积为0的延伸场景
   若题目给出“两个向量的点积为0”，直接对应向量垂直（夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）；但更隐蔽的是：

   • 直线的方向向量与平面的法向量平行（则直线与平面垂直，直线与平面内所有直线的夹角为 \(\frac{\pi}{2}\)）；
   • 两个平面的法向量点积为0（则面面垂直，二面角为 \(\frac{\pi}{2}\)）；
   • 平面内两条直线的方向向量点积为0（则两条直线在平面内垂直，夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。

2. 坐标运算中的垂直推导

   • 若两点坐标满足“横坐标差为0且纵坐标/竖坐标满足垂直关系”（如点 \(A(1,2,3)\)、\(B(1,5,7)\)、\(C(4,2,3)\)，则 \(AB\) 的方向向量为 \((0,3,4)\)，\(AC\) 的方向向量为 \((3,0,0)\)，点积为0，故 \(AB \perp AC\)）；
   • 直线方程与平面方程满足“直线的方向向量与平面的法向量点积等于直线方向向量模长与平面法向量模长的乘积”（即 \(\cos\theta = 1\)，则直线与平面垂直，直线与平面内直线夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。

四、判定定理的“间接推导垂直”（需两步推导的隐藏角度）

1. 线面垂直判定定理的延伸
   若题目给出“一条直线垂直于平面内两条相交直线”，直接得线面垂直；但更易忽略的是“一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于这个平面，则两条直线垂直”（如 \(l \perp \alpha\)，\(m \parallel \alpha\)，则 \(l \perp m\)，夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。

2. 面面垂直性质定理的延伸
   若题目给出“两个平面垂直，一个平面内的直线垂直于交线”，则直线垂直于另一个平面（与另一平面内所有直线垂直）；隐蔽场景为“两个平面垂直，第三个平面与两个平面都垂直，则第三个平面与前两个平面的交线垂直”（如 \(\alpha \perp \beta\)，\(\gamma \perp \alpha\)，\(\gamma \perp \beta\)，则 \(\gamma\) 与 \(\alpha\) 的交线 \(l \perp \gamma\) 与 \(\beta\) 的交线 \(m\)，夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。

五、实际问题与折叠/展开中的垂直（动态场景的隐藏角度）

1. 折叠问题中的“不变垂直关系”
   平面图形折叠为立体图形时，“与折痕垂直的线段”在折叠后仍保持垂直（夹角 \(\frac{\pi}{2}\)）。例如：矩形 \(ABCD\) 沿对角线 \(AC\) 折叠，折叠前 \(BD \perp AC\)（垂足为 \(O\)），折叠后 \(BO \perp AC\)、\(DO \perp AC\) 仍成立，故 \(AC \perp\) 平面 \(BOD\)，\(AC\) 与 \(BO\)、\(DO\) 的夹角均为 \(\frac{\pi}{2}\)。

2. 实际模型中的垂直抽象
   如“旗杆垂直于地面”“路灯杆垂直于路面”（对应线面垂直）、“墙面与地面垂直”（面面垂直）、“正方体礼盒的相邻面夹角”（面面垂直，二面角 \(\frac{\pi}{2}\)），本质均为立体几何中的垂直关系，角度为 \(\frac{\pi}{2}\)。

核心总结

立体几何中 \(\frac{\pi}{2}\) 角度的产生，本质是“垂直关系的量化表达”，除了直接给出的垂直条件，更多隐藏在几何体结构特征、向量代数运算、判定定理推导、动态折叠不变性中。解题时需优先联想“线线-线面-面面垂直的相互转化”，同时关注定义隐含条件、坐标/向量的代数特征，避免遗漏间接推导的垂直关系。