初中数学和高中数学关系大吗 | 知乎问答

前情概要

在知乎上有好多人会问，初中数学和高中关系大不大，感觉有些章节关联不大，但是有些内容和数学方法是初中内容与方法的延申和深化。以下，以十字相乘法为例，加以说明。

关联问题：初中数学和高中关系大吗？- 知乎

初中的十字相乘法

以二次三项式 \(2x^2+3x-2\) 的分解为例，故 \(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\)。

高中的十字相乘法

• 低阶层次，常数项的两个因式都是常数；

如 \(x^2-3x+2<0\) ，可以直接快速分解为 \((x-1)(x-2)<0\) ；

• 中阶层次，常数项的两个因式中有一个是常数，另一个为含有字母的代数式[整体思想]；

比如，\(x^2-(m+4)x+m+3<0\)，

系数分解为 \(_1^1\) \(\times\) \(_{\;\;-1}^{-(m+3)}\) ，

即可以分解为 \((x-1)[x-(m+3)]<0\)；

• 高阶层次，常数项的两个因式都是含有字母的代数式[整体思想]；

比如，\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，先不改动二次项和一次项，只将常数项做因式分解，

使用十字相乘法得到，\(x^2-(2m+1)x+(m+2)(m-1)\leq 0\)，

再次使用十字相乘法得到，\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

再比如，\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，

系数分解为 \(_1^1\) \(\times\) \(_{-a}^{-a^2}\)，

即可以分解为即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

典例剖析

• 在高三的常见题目中，可能更多见的是这样的：\(x\) 的本质为代数式，\(x\rightarrow e^x\)

\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2\)

\(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2\)

\(=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

其中\(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2\)(令\(e^x=t\))的分解形式如下：

\[\Large{_{2\cdot e^x}^{1\cdot e^x}{\times}_{\;a}^{-a}} \]

故\(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

【初中教师数学能力测试题目】已知关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)的根都是整数，则\(k\)的个数为【\(\qquad\)】

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

分析：关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)，

对其因式分解，可以分解为\([(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0\)，

则方程的两个根为\(x_1=\cfrac{9}{6-k}\)，\(x_2=\cfrac{6}{9-k}\)，

由于方程的根都是整数，则\(6-k\)和\(9-k\)是\(6\)和\(9\)的公约数[含正负]，

故\(6-k\)和\(9-k\)的值可能分别为\(\pm 1\)和\(\pm 3\)，以下检验，

当\(\cfrac{9}{6-k}=1\)，则\(k=-3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故舍去；

当\(\cfrac{9}{6-k}=-1\)，则\(k=15\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z\)，满足题意；

当\(\cfrac{9}{6-k}=3\)，则\(k=3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z\)，满足题意；

当\(\cfrac{9}{6-k}=-3\)，则\(k=9\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}\)无意义，舍去；

故满足题意的\(k=-1\)或\(k=3\)，故选\(D\)。

常用分解练习

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

③\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

④\(x^2+(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x+a)(x+a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

最后结论

夯实初中数学的基础知识和基本方法非常的关键，切记！切记！切记！