迭代函数方程的求解 | 视频解析+课件制作

前情概要

函数 \(f(x)\) 为定义在 \(D\) 上且取值于 \(D\) 上的函数，记 \(f^0(x)=x\)， \(f^1(x)=f(x)\)， \(f^2(x)=f(f(x))\)，\(\cdots\)，则称 \(f^n(x)\) 为 \(f(x)\) 在 \(D\) 上的 \(n\) 次迭代；解释一下，我们常将 \(f(x)\) 成为函数值，将函数值作为自变量再次构成一个函数就称为迭代，也正是基于此，才要求 \(f(x)\) 的取值必须在 \(D\) 内，否则就不能保证迭代函数有意义。

引例，\(f(x)=2x^2-1\)，则 \(f(\color{Red}{f(x)})\)\(=\)\(2\color{Red}{[f(x)]^2}+1\)\(=\)\(2\color{Red}{(2x^2-1)^2}-1\)\(=\)\(8x^4-8x^2+1\)；像这样的 \(f(f(x))=2/3\) 方程，我们就称之为迭代函数方程 .

典例剖析

已知 \(y=f(x)\) 为偶函数，当 \(x \geq 0\) 时，\(f(x)=-x^2+2x\) ，则满足 \(f(f(a))=\cfrac{1}{2}\) 的实数 \(a\) 的个数为【\(\qquad\)】

$A.8$ $B.6$ $C.4$ $D.2$

解：因为 \(y=f(x)\) 为偶函数，其解析式即为 \(f(x)=-x^2+2|x|\) ，所以图象关于 \(y\) 轴对称，如图，

设 \(t=f(a)\) ，则结合图象由 \(f(t)=\cfrac{1}{2}\) 可知 \(t\) 有 4个不同的解，不妨设为 \(t_1<t_2<t_3<t_4\) ，

结合图象可知 \(t_1 \in(-2,-1)\) ，此时 \(f(a)=t_1\)， \(a\) 有两个解；

同理 \(t_2 \in(-1,0)\) ，此时 \(f(a)=t_2\)， \(a\) 有两个解；

\(t_3 \in(0,1)\) ，此时 \(f(a)=t_3\)， \(a\) 有四个解；

\(t_4 \in(1,2)\) ，此时 \(f(a)=t_4\)， \(a\) 无解；

综上可得实数 \(a\) 的个数为 \(8\) ，故选 \(A\) ．

• 要是还是感觉不好理解，可以参阅视频教程：迭代函数方程的求解|视频解析+课件制作-知乎

小试牛刀

【2023凤翔中学高一月考二第21题改编】已知 \(f(x)=\begin{cases}x+2，&x>0\\x^2，&x\leqslant 0\end{cases}\)，若\(f(f(k))=\cfrac{9}{4}\)，求 \(k\) 的值 .

本题目可以从哪些角度入手分析呢？点击提示：

法1： 从形入手分析，由外向里分析，相对简单一些；做出 函数 \(f(x)\) 的图像，如下图所示，

由题可知，\(f(f(k))=\cfrac{9}{4}\)，令 \(f(k)=t\) ，则 \(f(f(k))=\cfrac{9}{4}\)变形为 \(f(t)=\cfrac{9}{4}\)，由图可知，

\(\left\{\begin{array}{l}{t^2=\cfrac{9}{4}}\\{t\leq 0}\end{array}\right.\quad\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{t+2=\cfrac{9}{4}}\\{t>0}\end{array}\right.\quad\)

即 \(t=-\cfrac{3}{2}\) 或 \(t=\cfrac{1}{4}\) ，

也即 \(f(k)=-\cfrac{3}{2}\) 或 \(f(k)=\cfrac{1}{4}\) ，

再由图可知，\(k\in \varnothing\) 或 \(k^2=\cfrac{1}{4}\) 且 \(k<0\)，

故 解得 \(k=-\cfrac{1}{2}\) .

法2：从数的角度入手分析，由里向外分析，相对复杂一些；首先需要将 \(f(k)\) 理解为一个整体，

由题目可知分段函数方程 \(f(f(k))=\cfrac{9}{4}\)等价于以下的两个方程组：

\(\left\{\begin{array}{l}{f(k)>0}\\{f(k)+2=\cfrac{9}{4}}\end{array}\right.\quad\) 或者 \(\left\{\begin{array}{l}{f(k)\leq 0}\\{f^2(k)=\cfrac{9}{4}}\end{array}\right.\quad\)

解得 \(f(k)=\cfrac{1}{4}\) ，或者 \(f(k)=-\cfrac{3}{2}\)，[得到两个分段函数方程，分别求解即可]

先解决分段函数方程 \(f(k)=\cfrac{1}{4}\)， 其等价于以下的两个方程组：

\(\left\{\begin{array}{l}{k>0}\\{k+2=\cfrac{1}{4}}\end{array}\right.\quad\) 或者 \(\left\{\begin{array}{l}{k\leq 0}\\{k^2=\cfrac{1}{4}}\end{array}\right.\quad\)

解得， \(k\in \varnothing\) 或者 \(k=-\cfrac{1}{2}\)；

再解决分段函数方程 \(f(k)=-\cfrac{3}{2}\)， 其等价于以下的两个方程组：

\(\left\{\begin{array}{l}{k>0}\\{k+2=-\cfrac{3}{2}}\end{array}\right.\quad\) 或者 \(\left\{\begin{array}{l}{k\leq 0}\\{k^2=-\cfrac{3}{2}}\end{array}\right.\quad\)

解得， \(k\in \varnothing\) 或者 \(k\in \varnothing\)；

综上所述， \(k=-\cfrac{1}{2}\)；

相关链接

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