从2025高考分式不等式求解说备考

前情概要

对于学习力比较普通的学生而言，比较常见的分式不等式的求解就是 ta 们高三整年的数学学习的噩梦。从备考的角度来说，不刻意追求最简的方法，只是下决心从算理和方法上彻底弄个明白，下次解决好多问题就轻松多了。

2025高考真题

【2025年高考数学新高考Ⅱ卷第4题】不等式 \(\cfrac{x-4}{x-1}\ge 2\) 解集是【\(\qquad\)】

$A.\{x\mid -2\le x\le 1\}$ $B.\{x\mid x\le -2\}$ $C.\{x\mid -2\le x<1\}$ $D.\{x\mid x>1\}$

解法1：移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【学科网提供的解法】

由 \(\cfrac{x-4}{x-1}\ge 2\) 移项变形，即为 \(\cfrac{x+2}{x-1}\le 0\)

即 \(\left\{\begin{array}{l}(x+2)(x-1)\le 0\\x-1\ne 0 \\\end{array}\right.\) \((\star)\)

故 \(-2\le x <1\)，故解集为\(\left[ -2,1 \right)\)，故选：C.

【编者加：转化到 \((\star)\) 式这一步，估计思维快的学生大多会排除选项 A，因为有个端点肯定不能取到等号，另外解题经验比较丰富的学生大致会排除掉选项 B 和 D ，因为这类题目最容易犯的错误是直接去掉分母，这样他们的结果一定是形如选项 B 和 D 这样的单向的不等式，当然这样的结论不总是很可靠的】

解法2：由 \(\cfrac{x-4}{x-1}\ge 2\) 移项变形，即为 \(\cfrac{x+2}{x-1}\le 0\)

使用 穿根法 求解，得到 \(-2\le x <1\)，故解集为\(\left[ -2,1 \right)\)，故选：C.

穿根法

解法3：分类讨论+去分母法，将我们平常容易使用的错误思路做个修正就完善了。

针对分母分类讨论，原不等式等价于以下不等式组：

\(Ⅰ. \left\{\begin{array}{l}x-4 \ge 2(x-1)\\x-1 > 0 \\\end{array}\right.\) 或 \(Ⅱ. \left\{\begin{array}{l}x-4 \le 2(x-1)\\x-1 < 0 \\\end{array}\right.\)

解 Ⅰ 得到 \(x\in \varnothing\) ，解 Ⅱ 得到 \(-2\le x <1\)，

Ⅰ 和 Ⅱ 的解集求并集，得到 解集为\(\left[ -2,1 \right)\)，故选：C.

【错解】：初学不等式解法的学生，容易这样错解，去分母得到 \(x-4\ge 2(x-1)\)，解得 \(x\le -2\)，错选了 B ，那么如何避免这个错误呢？要切实克服初中思维单纯性，一个代数式 \(x-1\)，可能为正，也可能为负， 由于此时在分母位置，自然就排除了它为零的可能，但也要注意培养思维的丰富性，比如代数式 \(x^2+1\) 就是恒正的，再比如高中的 \(e^x>0\)，\(2^x>0\)，初中的 \(|x|\geq 0\) 等等，都要注意积累。那高中数学中还有哪些地方需要注意呢？高频易错题目01 - 静雅斋数学 - 博客园

解法4：由 \(\cfrac{x-4}{x-1}\ge 2\) 移项变形，即为 \(\cfrac{x+2}{x-1}\le 0\)

再由符号法则，将不等式等价转化为以下不等式组【分母不带等号，分子必须带等号】

\(Ⅰ. \left\{\begin{array}{l}x+2\le 0\\x-1>0\end{array}\right.\) 或 \(Ⅱ. \left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\x-1<0\end{array}\right.\)

解 Ⅰ 得到 \(x\in \varnothing\) ，解 Ⅱ 得到 \(-2\le x <1\)，

Ⅰ 和 Ⅱ 的解集求并集，得到 解集为\(\left[ -2,1 \right)\)，故选：C.

符号法则及应用 - 静雅斋数学 - 博客园

恒等变形的是与非 - 静雅斋数学 - 博客园

中阶提升练习

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}\geqslant 0\)，

分析：原不等式分解变形为\(\cfrac{(3x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}\geqslant 0\)，约分得到

\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3x+1}{x+1}\geqslant 0①}\\{x-1\neq 0②}\end{array}\right.\)，

用穿根法解①得到，\(x<-1\)或\(x\geqslant -\cfrac{1}{3}\)；解②得到\(x\neq 1\)，

求交集，故解集为\((-\infty，-1)\cup[-\cfrac{1}{3}，1)\cup(1，+\infty)\)

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{2x^2+3x+1}{x-2}>0\)，

分析：原不等式变形为\(\cfrac{(2x+1)(x+1)}{x-2}>0\)，

用穿根法解得，解集为\(x\in(-1，-\cfrac{1}{2})\cup(2，+\infty)\)；

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)，

分析：由于\(e^x>0\)，故原不等式等价于\(\cfrac{(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)，

用穿根法解得，解集为\(x\in(-\infty，-1)\cup(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)；

注意：\(x=0\)为二次重根；

对应练习

• 可以使用转化法或者穿根法求解；

解不等式\(x<\cfrac{1}{x}<x^2\)；

分析：先转化为\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分别求解，

解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，

①②求交集得到，解集为\((-\infty，-1)\).

函数\(y=lg\cfrac{x-a^2-2}{2a-x}(a\in R)\)的定义域为集合\(B\)，化简集合\(B\);

分析：由于\((a^2+2)-2a=(a^2-2a+1)+1=(a-1)^2+1>0\)，故\(a^2+2>2a\)；

由\(\cfrac{x-a^2-2}{2a-x}>0\)，变形得到\(\cfrac{x-a^2-2}{x-2a}<0\)，

用穿根法或转化法，得到\(2a<x<a^2+2\)；注意此时应该想到比较两个根的大小，若不能确定大小，应该想到作差法

故集合\(B=(2a，a^2+2)\)；

高阶拔高练习

关于\(x\)的不等式\(a^2x^2+ax-2=0\)在\([-1,1]\)上有解，求\(a\)的取值范围；

分析：\(a^2x^2+ax-2=0\)，即\((ax+2)(ax-1)=0\)；显然\(a\neq 0\)

则\(-1\leqslant \cfrac{1}{a}\leqslant 1\)或\(-1\leqslant -\cfrac{2}{a}\leqslant 1\)

若常规方法，利用解分式不等式求解，太浪费时间，注意到题目的特点，此处换用绝对值不等式求解；

即\(|\cfrac{1}{a}|\leqslant 1\)或\(|\cfrac{2}{a}|\leqslant 1\)

即\(|a|\geqslant 1\)或\(|a|\geqslant 2\)，

则\(|a|\geqslant 1\)，即\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 1\)。

解关于 \(a\) 的不等式\(0<\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}\)；

解：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{a}{e^a}>0①\\\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}②\end{array}\right.\)

解①得到，\(a>0\)，

②式化简为\(e^{a-1}>a\)③，

利用 \(y=e^{a-1}\) 和 \(y=a\) 图像可得，\(e^{a-1}\geqslant a\)，

故解③式得到，\(a\neq 1\)；

即原双连不等式的解集为\(a\in (0,1)\cup (1,+\infty)\)；

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