动态的线面位置关系

前情概要

请自主复习：直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的定义，判定定理和性质定理等基础内容。

读者定位

本博文适合高一下学期学生阅读，要求对线、面位置关系内容比较熟悉，而且空间想象能力要比较强。

典例剖析

【2024高一数学必修二训练题】如图，已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动，则下列四个结论：① 三棱锥 \(A-D_1PC\) 的体积不变；② \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；③ \(DP\perp BC_1\)；④ 平面 \(PDB_1\perp\) 平面 \(ACD_1\) . 其中正确的序号为__________ ；①②④ ；

解析：由于容易发现 \(BC_1//AD_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，点 \(P\) 到平面 \(AD_1C\) 的距离应该是定值，再结合下底面 \(AD_1C\) 的面积固定，则可知三棱锥 \(P-AD_1C\) 的体积不变，即三棱锥 \(A-D_1PC\) 的体积不变，故①正确；

证明②的正确的思路比较多：其一，连接\(A_1B\)，\(A_1C_1\)，则容易知道平面 \(AD_1C//\) 平面 \(A_1BC_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，直线 \(A_1P\subset\) 平面 \(BA_1C_1\)，故 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其二，特殊位置法，分别让点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，在这两个特殊位置时都可以说明 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)，这样猜想当点 \(P\) 移动到其他位置时，一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其三，在平面 \(AD_1C\) 中如何找这样的直线，过点 \(C\) 在平面 \(AD_1C\) 中做 \(CV//A_1P\)，连接 \(A_1V\)，则四边形 \(A_1PCV\) 是平行四边形，故一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；故 ②正确；

对于③，采用特殊位置法，当点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，\(DP\) 和 \(BC_1\) 都是面对角线，如果再连接 \(C_1D\)(或 \(BD\))，则 \(DP\) 和 \(BC_1\) 的夹角为 \(60^{\circ}\)，故③错误；

对于④，我们已经积累了体对角线 \(B_1D\perp\) 平面 \(AD_1C\)，又 \(B_1D\subset\) 平面 \(PDB_1\)，则平面 \(PDB_1\perp\) 平面 \(ACD_1\)，故 ④正确，

综上所述， ①②④ 正确；

【2024高一训练题目】如图，点 \(M\) 是棱长为 \(1\) 的正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中的侧面 \(ADD_1A_1\) 上的一个动点(包含边界)，则下列结论正确的是【\(\qquad\)】

A.有无数个点 \(M\) 满足 \(CM\perp AD_1\);

B.当点 \(M\) 在棱 \(DD_1\) 上运动时，\(MA+MB_1\) 的最小值为 \(\sqrt{3}+1\);

C.若 \(MB_1=\sqrt{2}\)，则动点 \(M\) 的轨迹长度为 \(\cfrac{\pi}{2}\);

D.在线段 \(AD_1\) 上存在点 \(M\) ，使异面直线 \(MB_1\) 与 \(CD\) 所成的角是 \(30^{\circ}\);

解：对于选项 \(A\)，当点 \(M\) 在线段 \(A_1D\) 上运动时，容易证明 \(CM\perp AD_1\)；由于 \(AD_1\perp A_1D\)，\(AD_1\perp CD\)，

所以 \(AD_1\perp\) 平面 \(A_1CD\)，\(CM\subset\) 平面 \(A_1DC\)，故 \(AD_1\perp CM\)，即有无数个点 \(M\) 满足 \(CM\perp AD_1\)，故选项 \(A\) 正确；

对于选项 \(B\)，当点 \(M\) 在棱 \(DD_1\) 上运动时，\(MA+MB_1\) 是两条折线长度的和，而我们知道，在一个平面内两点之间线段最短，故需要将正方体展开，使得点 \(A\) 和点 \(B_1\) 以及点 \(M\) 三点共面， 要使得 \(MA+MB_1\) 最小，只需要那三点共线即可。为此，我们将侧面 \(ADD_1A_1\) 以 \(DD_1\) 为轴，顺时针旋转 \(135^{\circ}\)，使得旋转后的平面 \(ADD_1A_1\) 与平面 \(BDD_1B_1\) 共面，连接 \(AB_1\) 与 \(DD_1\) 相交于点 \(M\)，此时线段 \(AB_1\) 的长度就是 \(MA+MB_1\) 的最小值，如图所示，

此时，\(AB_1^2\)\(=\)\(AB^2+BB_1^2\)，即 \(AB_1\)\(=\)\(\sqrt{1^2+(1+\sqrt{2})^2}\)\(=\)\(\sqrt{4+2\sqrt{2}}\)\(\neq\)\(\sqrt{3}+1=\)\(\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)，故选项 \(B\) 错误；

对于选项 \(C\)，连接 \(A_1M\) 和 \(B_1M\)，在 \(Rt\triangle A_1B_1M\) 中，\(A_1B_1=1\)，\(B_1M=\sqrt{2}\)，

由勾股定理可知，\(A_1M=1\)，由于点 \(M\) 在平面 \(ADD_1A_1\) 内运动，且 \(A_1M=1\)，故点 \(M\) 的轨迹为以点 \(A_1\) 为圆心，以 \(1\) 为半径的四分之一个圆周(在平面 \(ADD_1A_1\) 内)，故所求轨迹长度为 \(\cfrac{1}{4}\times 2\pi\times 1=\cfrac{\pi}{2}\)，故选项 \(C\) 正确；

对于选项 \(D\) ，采用计算的方法，由于棱长 \(A_1B_1=1\)，令 \(\angle A_1B_1M=\theta\)，则 \(\tan\theta=\cfrac{A_1M}{A_1B_1}=A_1M\)，由于 \(y=\tan x\) 在 \([0,\cfrac{\pi}{2})\) 内单调递增，故 \(A_1M\) 最小时，角 \(\theta\) 最小，接下来关键是确定何时 \(A_1M\) 最小；问题转化为直线外一点到直线上的任意一点的点点距离何时最小，我们知道直线外一点到直线上的任意一点的连线中，只有垂线段最短，即当 \(A_1M\)\(\perp\)\(AD_1\) 时满足条件，由图形的特殊性可知，当点 \(M\) 为线段 \(AD_1\) 的中点时 \(A_1M\) 最短，此时 \(A_1M=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即 \(\tan\theta\)\(=\)\(A_1M\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(>\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)\(=\)\(\tan30^{\circ}\)，故 \(\theta\) 的最小值大于 \(30^{\circ}\) ，即在线段 \(AD_1\) 上不存在点 \(M\) ，使异面直线 \(MB_1\) 与 \(CD\) 所成的角是 \(30^{\circ}\)，故选项 \(D\) 错误；

综上所述，选 \(AC\) ；

【2024高一训练题目】如图，在正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，点 \(F\) 是线段 \(BC_1\) 上的动点，则直线 \(A_1F\) 与平面 \(BDC_1\) 所成的最大角的余弦值为___________.

解：如图所示，利用正方体中储备的知识 ^[1]很容易想到，连接 \(A_1C\)，则可知体对角线 \(A_1C\perp\) 平面 \(BC_1D\)，令垂足为点 \(O\)，连接 \(OF\) ，则直线 \(A_1F\) 与平面 \(BDC_1\) 所成的角为 \(\angle A_1FO\)，为了求 \(\angle A_1FO\) 的最大值，可以考虑两个角度：

其一，从形上思考，在等边 \(\triangle DC_1B\) 中，当动点 \(F\) 靠近点 \(B\) 或点 \(C_1\) 时 \(\angle A_1FO\) 越来越小(可以借助极端的情形思考，让线段 \(BC_1\) 非常长，则角的顶点就近乎在无限远处，其大小就接近 0 了)，那么在线段的中点位置时[其实是 \(OF\perp BC_1\) 时，为什么这样可以从思路二中得到解答和印证]，\(\angle A_1FO\) 达到最大，为便于计算，令 \(AB=1\)，则 \(A_1C=\sqrt{3}\)，\(A_1O\)\(=\)\(\cfrac{2}{3}A_1C\)\(=\)\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，\(BD\)\(=\)\(\sqrt{2}\)，则 \(BF\)\(=\)\(\cfrac{2}{2}\)，\(DF\)\(=\)\(\cfrac{6}{2}\)，则 \(OF\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}DF\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{6}}{6}\)，又由\(Rt\triangle A_1B_1F\) 可得 \(A_1F\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{6}}{2}\)，故 \(\cos\angle A_1FO\)\(=\)\(\cfrac{OF}{A_1F}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)；

其二，从数上思考，由上述可知所求的线面角为 \(\angle A_1FO\)，在 \(Rt\triangle A_1FO\) 中，由于 \(A_1O\) 的长度为定值，故可设 \(A_1O\)\(=\)\(a\)，\(OF\)\(=\)\(x\)，则 \(A_1F\)\(=\)\(\sqrt{x^2+a^2}\)，这样 \(\cos\angle\)\(A_1FO\)\(=\)\(\cfrac{OF}{A_1F}\)\(=\)\(\cfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)\(=\)\(\sqrt{\cfrac{x^2}{x^2+a^2}}\)\(=\)\(\sqrt{\cfrac{x^2+a^2-a^2}{x^2+a^2}}\)\(=\)\(\sqrt{1-\cfrac{a^2}{x^2+a^2}}\).

由于 \(a\) 为常数，故当 \(x>0\) 时，\(x\nearrow\)，\(x^2\nearrow\)，\(x^2+a^2\nearrow\)，\(\cfrac{a^2}{x^2+a^2}\searrow\)，\(-\cfrac{a^2}{x^2+a^2}\nearrow\)，\(1-\cfrac{a^2}{x^2+a^2}\nearrow\)，\(\sqrt{1-\cfrac{a^2}{x^2+a^2}}\nearrow\)，故当 \(x\nearrow\)，\(\cos\angle\)\(A_1FO\nearrow\)，又由于 \(y=\cos x\) 为 \([0,\cfrac{\pi}{2}]\) 上的减函数，故如果要 \(\angle\)\(A_1FO\) 最大，则需要 \(\cos\angle\)\(A_1FO\) 最小，即需要 \(x\) 最小，这样就需要 \(OF\) 最小，而直线外一点和直线上的动点之间的点点距中只有垂线段最短，故需要 \(OF\perp BC_1\)， 依托思路一求得 \(A_1O=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，\(OF\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{6}}{6}\)，代入求得 \(\cos\angle A_1FO\)\(=\)\(\cfrac{OF}{A_1F}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)；

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1. 比如，积累正方体中体对角线 \(A_1C\perp\) 平面 \(BC_1D\)，且知道 \(A_1O=\cfrac{2}{3}A_1C\)，等等，数学学习中的好多东西是需要积累的； ↩︎