复数范围内解方程

前言

【人教 2019A 版教材\(P_{81}\) 页，学生仅作了解】代数基本定理：任何一元 \(n\) \((n\in N^*)\) 次复系数多项式方程 \(f(x)=0\) 至少有一个复数根。由此可得，任何一元 \(n\) \((n\in N^*)\) 次复系数多项式 \(f(x)\) 在复数集中可以分解为 \(n\) 个一次因式的乘积 . 进而，一元 \(n\) \((n\in N^*)\) 次多项式方程 \(f(x)=0\) 有 \(n\) 个复数根(重根按重数计数)，且虚根成对出现 .

①. \(x^2+4=(x+2i)(x-2i)\)；

②. \(a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2=(a+b)(a-b)(a+bi)(a-bi)\)

相关知识

• 【初中总结】 实数系数的一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)\) ，当 \(\Delta\geqslant 0\)时，在实数范围内有实数根，其求根公式为 \(x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)；根与系数的关系为 \(x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\)，\(x_1\cdot x_2=\cfrac{c}{a}\)；当 \(\Delta<0\)时，在实数范围内没有实数根。

解释：\(x_1\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，

则 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(+\)\(\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(=\)\(-\cfrac{b}{a}\)，

\(x_1\)\(\cdot\)\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(\times\)\(\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(=\)\(\cfrac{c}{a}\)，

且当 \(\Delta\) 是完全平方数[即形如 \(t^2\) 的形式]时，方程的根为有理数根，当 \(\Delta\) 不是完全平方数时，方程的根为无理数根，且无理数根成对出现。

• 【高中引申，数的范围扩充到复数】实数系数的一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)\) ，
  当 \(\Delta\geqslant 0\)时，在实数范围内有实数根， \(x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，满足 \(x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\)，\(x_1\cdot x_2=\cfrac{c}{a}\)；
  当 \(\Delta<0\)时，在复数范围内有复数根， \(x=\cfrac{-b\pm\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)，满足 \(x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\)，\(x_1\cdot x_2=\cfrac{c}{a}\)；

解释成对出现的复数根的根与系数的关系：

\(x_1\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)，\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b+\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)，

则 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)\(+\)\(\cfrac{-b+\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)\(=\)\(-\cfrac{b}{a}\)，

\(x_1\)\(\cdot\)\(x_2\)\(=\)\(\cfrac{-b-\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)\(\times\)\(\cfrac{-b+\sqrt{-(b^2-4ac)}\cdot i}{2a}\)\(=\)\(\cfrac{c}{a}\)，

当 \(\Delta<0\) 时，方程的根为复数根[非实数根]，且复数根成对出现。

典型例题

【初中的经典题目】在实数范围内求解方程 \(x^2-5|x|+6=0\)，

法1：按照绝对值的定义，将原方程作等价转化，原方程等价于以下两个方程组：

Ⅰ.\(\left\{\begin{array}{l}{x\geqslant0}\\{x^2-5x+6=0}\end{array}\right.\quad\) 或 Ⅱ. \(\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{x^2+5x+6=0}\end{array}\right.\quad\)

解Ⅰ得到，\(x=2\) 或 \(x=3\)；解Ⅱ得到，\(x=-2\) 或 \(x=-3\)；

故原方程的解为 \(x=\pm2\)， \(x=\pm 3\)；

法2：利用性质 \(x^2=|x|^2\) 将原方程等价变形为 \(|x|^2-5|x|+6=0\)，

分解因式为 \((|x|-2)(|x|-3)=0\)，故 \(|x|=2\) 或 \(|x|=3\)；

故原方程的解为 \(x=\pm2\)， \(x=\pm 3\)；

在复数范围内求解方程 \(x^2-5|x|+6=0\)，

法1：设 \(x=a+bi\)，\(a,b\in R\)，则 \(|x|=\sqrt{a^2+b^2}\)，代入原方程得到，

\(a^2+2abi-b^2-5\sqrt{a^2+b^2}+6=0\)，即 \(a^2-b^2-5\sqrt{a^2+b^2}+6+2abi=0\)，

故 \(\left\{\begin{array}{l}{a^2-b^2-5\sqrt{a^2+b^2}+6=0 ①}\\{2ab=0 ②}\end{array}\right.\quad\)

当 \(b=0\) 时，代入① 得到 \(a=\pm2\)， \(a=\pm 3\)；故 \(x=\pm2\)， \(x=\pm 3\)；

当 \(a=0\) 时，代入② 得到 \(b=\pm i\)， 故 \(x=\pm i\)；

综上所述，在复数范围内方程 \(x^2-5|x|+6=0\)的根有 \(6\) 个， \(x=\pm2\)，或 \(x=\pm 3\)；或 \(x=\pm i\)，

【解后反思】：在复数范围内，\(x^2=|x|^2\)不一定成立；解释： 令 \(x=a+bi\)，则 \(x^2=a^2-b^2+2abi\)，而\(|x|^2=a^2+b^2\) .

【人教 2019A 版教材\(P_{81}\) 页习题7.2第7题】已知 \(2i-3\) 是关于 \(x\) 的方程 \(2x^2+px+q=0\) 的一个根, 求实数 \(p\)，\(q\) 的值.

法1： 因为 \(2i-3\) 是关于 \(x\) 的方程 \(2x^2+px+q=0\) 的一个根， 所以有 \(2(-3+2i)^2+p(-3+2i)+q=0\)，

整理得 \((10-3p+q)+(2p-24)i =0\)，故有 \(\left\{\begin{array}{l}2p-24=0\\ 10-3p+q=0\end{array}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p=12\\q=26.\end{array}\right.\right.\)

法2：因为 \(2i-3\) 是关于 \(x\) 的方程 \(2x^2+px+q=0\) 的一个根， 由虚根成对可知， \(-2i-3\) 也是关于 \(x\) 的方程 \(2x^2+px+q=0\) 的一个根,

故由根与系数的关系可知，有 \((-3+2i)+(-3-2i)=-\cfrac{p}{2}\)， \((-3+2i)\times(-3-2i)=\cfrac{q}{2}\)，

解得 \(p=12\)， \(q=26\) .

【人教 2019A 版教材\(P_{81}\) 页习题7.2第6题】在复数范围内解方程 \(2x^2-3x+4=0\) ；

分析：\(x=\cfrac{3\pm \sqrt{23}\cdot i}{4}\) .

【人教 2019A 版教材\(P_{81}\) 页习题7.2第8题】在复数范围内因式分解：

①. \(x^2+4=(x+2i)(x-2i)\)；

②. \(a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2=(a+b)(a-b)(a+bi)(a-bi)\)