两个向量的位置关系

前言

向量是既有大小，也有方向的量。当涉及两个向量时，就涉及两个向量的位置关系；

位置关系分类

当给定两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 时，它们之间的位置关系涉及以下几种：两个大类[共线和不共线]，或者三个小类

①. 一类为向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 不共线时，此时两个向量都不是零向量，如果有一个为零向量，则两个向量就是平行向量或共线向量了。

另一类自然就是两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 共线了，此时又可以细分为其中一个为零向量[又可以细分为只有一个为零向量和仅有一个为零向量]和两个都不是零向量但共线，

②. 其中一个为零向量，比如 \(\vec{a}=\vec{0}\)，

③. 两个都不是零向量但共线，即两个向量平行；此时两个向量同向或者反向。

向量三角不等式

\(|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant |\vec{a}|+|\vec{b}|\)，向量三角不等式是欧氏空间中距离的一个重要性质。向量形式的柯西不等式

给定两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 时，则其位置关系应该能分两大类或者三小类，在此前提下，研究两个向量的和向量的模长和单个向量的模长关系：

①. 当向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 不共线，由三角形两边之和大于第三边可知，必然满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，

②. 当向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 共线，其中一个为零向量，满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，

③. 当两个都不是零向量但共线，若同向时，满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，

✍️ 综上所述， 给定两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 时，必然满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant |\vec{a}|+|\vec{b}|\)。

引申： 当两个都不是零向量但共线，若方向相反时，

当 \(|\vec{a}|>|\vec{b}|\) 时， \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|\)，

当 \(|\vec{a}|<|\vec{b}|\) 时， \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|-|\vec{a}|\)，

向量位置的基向量刻画

设 \(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\) 是不共线向量，且 \(|\vec{e_1}|=1\)， \(|\vec{e_2}|=2\)，且 \(\vec{a}=\vec{e_1}+2\vec{e_2}\)， \(\vec{b}=2\vec{e_1}-\vec{e_2}\)，则 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 不共线；

向量位置的坐标刻画

当我们引入了向量的坐标表示后，向量的刻画就能实现坐标化，向量的位置关系也随之能数字化。

先说两个向量的位置中的特殊情况：① 向量的共线和 ② 垂直，

① 向量的共线^[1]：设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)， \(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则 \(\vec{a}//\vec{b}\)的充要条件是 \(x_1y_2-x_2y_1=0\) . ^[2]

② 向量的垂直：我们知道，\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)， 设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)， \(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，由于 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，则 \(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\Leftrightarrow\) \(x_1x_2+y_1y_2=0\)，

③ 再说两个向量的位置中的一般情况，令 \(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)\(=\)\(\theta\) ，则上述的向量共线，即 \(\theta=0\) 和 \(\theta=\pi\) 的情形；向量的垂直，即 \(\theta=\cfrac{\pi}{2}\) ，剩余的夹角都是很一般的情形， 给定向量 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)， \(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则可知 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，且 \(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)， \(|\vec{b}|=\sqrt{x_2^2+y_2^2}\)，故两个向量的夹角公式可以用坐标刻画为：

$\cos\theta$$=$$\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$=$$\cfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

典例剖析

设 \(\vec{e_1}\)， \(\vec{e_2}\)是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 【\(\qquad\)】

$A. 2\vec{e_1}+\vec{e_2}和2\vec{e_1}-\vec{e_2}$ $B. 3\vec{e_1}-2\vec{e_2}和4\vec{e_2}-6\vec{e_1}$ $C. \vec{e_1}+2\vec{e_2}和\vec{e_2}+2\vec{e_1}$ $D. \vec{e_2}和\vec{e_1}+\vec{e_2}$

解：由于 \(\vec{e_1}\)， \(\vec{e_2}\)是平面内所有向量的一个基底，则 \(\vec{e_1}\)， \(\vec{e_2}\) 不共线，都不是零向量，

故 可知 \(2\vec{e_1}+\vec{e_2}\neq\vec{0}\)，[否则若\(2\vec{e_1}+\vec{e_2}=\vec{0}\)，则\(\vec{e_1}=-2\vec{e_2}\)，可知 \(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\) 共线，与已知矛盾]，同理能说明其他向量也都不是零向量。

对于选项 \(A\) ，由于\(\cfrac{2}{2}\neq\cfrac{1}{-1}\)，故向量 \(2\vec{e_1}+\vec{e_2}\) 和 \(2\vec{e_1}-\vec{e_2}\) 不共线，故可以作为基底。

对于选项 \(B\) ，由于\(\cfrac{3}{-6}=\cfrac{-2}{4}\)，故向量 \(3\vec{e_1}-2\vec{e_2}\) 和 \(4\vec{e_2}-6\vec{e_1}\) 共线，故不能作为基底。

对于选项 \(C\) ，由于\(\cfrac{1}{2}\neq\cfrac{2}{1}\)，故向量 \(\vec{e_1}+2\vec{e_2}\) 和 \(\vec{e_2}+2\vec{e_1}\) 不共线，故可以作为基底。

对于选项 \(D\) ，由于\(\cfrac{0}{1}\neq\cfrac{1}{1}\)，故向量 \(\vec{e_2}\) 和 \(\vec{e_1}+\vec{e_2}\) 不共线，故可以作为基底。

综上所述，故选 \(B\) .

相关引申

三个平面非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)两两的夹角相等，则这三个向量的夹角为 \(0^{\circ}\) 或 \(120^{\circ}\)；

三个平面非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)不共线，两两的夹角相等，则这三个向量的夹角为 \(120^{\circ}\)；

【2020北京人大附中高一试题】已知不共线的平面向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)两两所成的角相等，并且\(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{c}|=3\)，试求\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)的长度以及与已知三向量的夹角。

法1：主动建系，利用向量的坐标，从数的角度计算；

由于不共线的平面向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)两两所成的角相等，即为\(\cfrac{2\pi}{3}\)，

故建立如下所示的平面直角坐标系，则\(\vec{a}=(0,1)\)，\(\vec{b}=(-\sqrt{3},-1)\)，\(\vec{c}=(\cfrac{3\sqrt{3}}{2},-\cfrac{3}{2})\)，

则\(\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(\cfrac{\sqrt{3}}{2},-\cfrac{3}{2})\)，即\(\vec{d}=\sqrt{3}\);

设\(<\vec{d},\vec{a}>=\theta\)，则由\(\cos\theta=\cdots=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(\theta=\cfrac{5\pi}{6}\)；

同理同法，可得到\(<\vec{d},\vec{b}>=\cfrac{\pi}{2}\)，\(<\vec{d},\vec{c}>=\cfrac{\pi}{6}\).

故向量\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)的长度为\(\sqrt{3}\)，与三个向量的夹角分别为\(\cfrac{5\pi}{6}\)、\(\cfrac{\pi}{2}\)、\(\cfrac{\pi}{6}\).

法2：无需建系，利用已知的模长和已知的夹角求解；

由题目可知，\(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{c}|=3\)，令\(\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)；

且\(<\vec{a},\vec{b}>=<\vec{b},\vec{c}>=<\vec{c},\vec{a}>=120^{\circ}\)，

则\(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2}\)

\(=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{c}}\)

\(=\sqrt{1+4+9+2\times 1\times 2\times(-\cfrac{1}{2})+2\times 2\times 3\times(-\cfrac{1}{2})+2\times 1\times 3\times(-\cfrac{1}{2}) }=\sqrt{3}\)

\(\cos<\vec{d},\vec{a}>=\cfrac{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\cdot \vec{a}}=\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}}{\sqrt{3}\times 1}\)

\(=\cfrac{1+(-1)-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，故\(<\vec{d},\vec{a}>=\cfrac{5\pi}{6}\)，

同理同法，可求其他的夹角，略。

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1. 由于我们研究的向量是自由向量，即可以任意平移，故两个向量的共线也称为向量平行，但是换成两条直线后，直线的共线和平行就不是一回事 . ↩︎

2. 解题经验，实际解题中我们由 \(\vec{a}//\vec{b}\)，也常常用比例式 \(\cfrac{x_1}{x_2}\)\(=\)\(\cfrac{y_1}{y_2}\) 来判断共线。若给定的向量的坐标中有 \(0\) 时，才用 \(x_1y_2\)\(-\)\(x_2y_1\)\(=\)\(0\) 来判断共线。故我们可以利用两个向量的对应坐标是否成比例来判断两个向量是否共线。若成比例，则共线[平行]；不成比例，则不共线，且这两个向量就可以作基底。将以上的条件作弱化，也可以利用两个向量的对应系数[有序实数对]是否成比例来判断两个向量是否共线。具体可以依托下面的例子理解。
   注意：\(\cfrac{x_1}{x_2}\)\(=\)\(\cfrac{y_1}{y_2}\) 与 \(x_1y_2\)\(-\)\(x_2y_1\)\(=\)\(0\) 是不等价的，\(\cfrac{x_1}{x_2}\)\(=\)\(\cfrac{y_1}{y_2}\) 中的分母 \(x_2\neq0\) 且 \(y_2\neq0\)，但是 \(x_1y_2\)\(-\)\(x_2y_1\)\(=\)\(0\) 中的 \(x_2\)，\(y_2\) 都是可以取零的。 ↩︎