余弦值(正弦值)连乘形式|二倍角正弦逆用
余弦值(正弦值)连乘形式的求值技巧
前言
给定余弦值(正弦值)连乘形式求值，本质属于三角函数中的给角求值类问题，这类题目的特点比较明显：①余弦值连乘形式；②给定的角一般都不是特殊角，但相互成倍数关系；③分母为\(1\)，给分子分母同时乘以最小角的 \(2\) 倍正弦[比如例 \(1\) 的 \(2\sin\cfrac{\pi}{17}\) ]后，就能连续多次逆向使用二倍角正弦公式；④最后能将开始所乘的最小角的 \(2\) 倍正弦[比如例 \(1\) 的 \(2\sin\cfrac{\pi}{17}\) ]给约掉，从而求出值。
解题经验：①化角：若给定的角不是倍角关系，常常利用互余[如 \(\sin20^{\circ}\)\(=\)\(\cos70^{\circ}\) ]或互补[如 \(cos\cfrac{3\pi}{7}\)\(=\)\(-cos\cfrac{4\pi}{7}\) ]关系转化为倍角关系；②化函数形式：若给定的是正弦值连乘形式，可以利用互余关系将正弦值连乘形式转化为余弦值连乘形式[比如 \(\sin10^{\circ}=\cos80^{\circ}\)]。
典例剖析
解：原式为整式，我们看成分母为 \(1\) 的分式，给分子分母同时乘以\(2\sin\cfrac{\pi}{17}\)，这样逆向使用二倍角正弦公式就有了基础，不妨称其为启动因子，别担心，运算到最后这个启动因子会约掉的。
解： 原式\(=\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot(-\cos\cfrac{4\pi}{7})\cdot(-\cos\cfrac{2\pi}{7})\)
\(=\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{8\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}=-\cfrac{\sin\cfrac{\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}=-\cfrac{1}{8}\)
分析：原式=\(\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{2sin20^{\circ}\cdot cos20^{\circ}\cdot cos40^{\circ}\cdot cos80^{\circ}}{2sin20^{\circ}}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{sin40^{\circ}\cdot cos40^{\circ}\cdot cos80^{\circ}}{2sin20^{\circ}}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{2\cdot sin40^{\circ}\cdot cos40^{\circ}\cdot cos80^{\circ}}{2\cdot 2sin20^{\circ}}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{sin80^{\circ}\cdot cos80^{\circ}}{4sin20^{\circ}}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{sin160^{\circ}}{8sin20^{\circ}}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{8}= \cfrac{1}{16}\)。
解：原式\(=\cfrac{1}{2}\sin10^{\circ}\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cos80^{\circ}\cos40^{\circ}\cos20^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}\)
解：原式\(=\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}\)
\(=\cfrac{2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}\)
\(=\cfrac{\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}\)
\(=\cfrac{2\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}}{2^2\sin36^{\circ}}\)
\(=\cfrac{\sin144^{\circ}}{2^2\sin36^{\circ}}=\cfrac{1}{4}\)
\(=\sin1^{\circ}\cdot\sin2^{\circ}\cdots\sin44^{\circ}\cdot\sin45^{\circ}\cdot\sin46^{\circ}\cdots\sin88^{\circ}\cdot\sin89^{\circ}\)
\(=\sin1^{\circ}\cdot\sin2^{\circ}\cdots\sin44^{\circ}\cdot\sin45^{\circ}\cdot\cos44^{\circ}\cdots\cos2^{\circ}\cdot\cos1^{\circ}\)
\(=(\sin1^{\circ}\cdot\cos1^{\circ})\times (\sin2^{\circ}\cdot\cos2^{\circ})\times\cdots\times (\sin44^{\circ}\cdot\cos44^{\circ})\times\sin45^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2^{44}}\times(2\sin1^{\circ}\cdot\cos1^{\circ})\times (2\sin2^{\circ}\cdot\cos2^{\circ})\times\cdots\times (2\sin44^{\circ}\cdot\cos44^{\circ})\times\sin45^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2^{44}}\times \sin2^{\circ}\cdot\sin4^{\circ}\cdot\sin6^{\circ}\cdot\sin8^{\circ}\cdots\sin88^{\circ}\) \(\quad\)按同样的思路处理
\(=\cfrac{1}{2^{44}}\times \cfrac{1}{2^{22}}\times\sin4^{\circ}\cdot\sin8^{\circ}\cdot\sin12^{\circ}\cdot\sin16^{\circ}\cdots\sin88^{\circ}\)
同类思维
原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)
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