作差法

前言

方法相关

• 作差法的理论依据

\[\left\{\begin{array}{l}{a-b>0 \Leftrightarrow a>b}\\{a-b=0 \Leftrightarrow a=b}\\{a-b<0 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R) \]

注意：作差法对作差的两个实数没有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

• 作差法步骤：作差 \(\Rightarrow\) 变形 \(\Rightarrow\) 定号 \(\Rightarrow\) 结论，

其难点是数学变形，常用的数学变形有因式分解，配方法^[1]，通分，分母有理化或分子有理化^[2]等，有时候针对根式作差时，可能还会需要先平方再作差。

典例剖析

• 对两个代数式作差进行大小比较。

若\(P=\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}\)，\(Q=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a\ge 0)\)，比较\(P、Q\)的大小。

分析：由于\(a\ge 0\)，\(P > 0\)，\(Q > 0\)，

则有\(Q^2-P^2=2a+7+2\sqrt{a^2+7a+12}-(2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10})\)

\(=2(\sqrt{a^2+7a+12}- \sqrt{a^2+7a+10}) > 0\)，所以\(Q^2 > P^2\)，则\(Q > P\)。

【2020高三数学课时作业】已知实数\(a,b,c\)满足\(b+c=6-4a+3a^2\)，\(c-b=4\)\(-4a+\)\(a^2\)，则\(a,b,c\)的大小关系为 【\(\qquad\)】

$A.c\geqslant b >a$ $B.a >c\geqslant b$ $C.c > b >a$ $D.a > c >b$

分析：由于\(c-b=4-4a+a^2=(a-2)^2\geqslant 0\)，故\(c\geqslant b\)；

又由于\(c+b=6-4a+3a^2\)，\(c-b=4-4a+a^2\)，故由方程思想得到，\(b=a^2+1\)，

则\(b-a=a^2-a+1>0\)恒成立，即\(b>a\)，故\(c\geqslant b >a\)，选\(A\).

【涉及2017全国卷1理科第11题】设\(x\)，\(y\)，\(z\)为正数，且\(2^x=3^y=5^z\)，则 【\(\qquad\)】

$A.3y<2x<5z$ $B.2x<3y<5z$ $C.3y<5z<2x$ $D.5z<2x<3y$

分析：令\(2^x=3^y=5^z=k\)，

则\(x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}\)，\(z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}\)，

故\(2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}\)，

\(3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

\(5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}\)，接下来，

法1：【单调性法】转化为只需要比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，\(\sqrt[5]{5}\)三者的大小即可。

先比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，给两个式子同时6次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\)，\((\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\)，

故\(\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(2x>3y\)

再比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[5]{5}\)，给两个式子同时10次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\)，\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\)，

故\(\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(5z>2x\)，综上得到\(3y<2x<5z\)

法2：【作差法】

\(2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\)，

故\(2x>3y\);

\(2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\)

故\(2x<5z\);

综上有\(3y<2x<5z\)。

法3：【作商法】

\(\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\)，故\(2x>3y\)；

\(\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\)，

故\(5z>2x\)；故\(3y<2x<5z\)。素材链接

法4：【特值法】取\(z=1\)，则由\(2^x=3^y=5^z\)得，\(x=\log_25\)，\(y=\log_35\)，

所以\(2x=\log_25<\log_2{32}=5z\)，

\(3y=\log_3{125}<\log_3{243}=5z\)，所以 \(5z\)最大；

取\(y=1\)，则由\(2^x=3\)，得到\(x=\log_23\)，所以\(2x=\log_29>3y\)，

综上所述，可得\(3y<2x<5z\)，故选\(A\).

法5：设令\(2^x=3^y=5^z=k\)，则\(x=log_2k\)，\(y=log_3k\)，\(z=log_5k\)注意到这三个对数式的真数相同，故想到取倒数，这样得到三个结果的底数就是相同的，便于下一步利用单调性比较大小；，

所以 \(\cfrac{1}{2x}=\log_k{2^{\frac{1}{2}}}\)，\(\cfrac{1}{3y}=\log_k{3^{\frac{1}{3}}}\)，\(\cfrac{1}{5z}=\log_k{5^{\frac{1}{5}}}\)，

又易知，\(k>1\)，则\(5^{\frac{1}{5}}\)\(<\)\(2^{\frac{1}{2}}\)\(<\)\(3^{\frac{1}{3}}\)由于\(5^{\frac{1}{5}}\)\(=\)\(\sqrt[5]{5}\)\(=\)\(\sqrt[10]{5^2}\)，\(2^{\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\sqrt[2]{2}\)\(=\)\(\sqrt[10]{2^5}\)，故\(5^{\frac{1}{5}}\)\(<\)\(2^{\frac{1}{2}}\)，同理，\(2^{\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\sqrt[2]{2}\)\(=\)\(\sqrt[6]{2^3}\)，\(3^{\frac{1}{3}}\)\(=\)\(\sqrt[3]{3}\)\(=\)\(\sqrt[6]{3^2}\)，故\(2^{\frac{1}{2}}\)\(<\)\(3^{\frac{1}{3}}\)，因此，\(5^{\frac{1}{5}}\)\(<\)\(2^{\frac{1}{2}}\)\(<3^{\frac{1}{3}}\)，

所以，\(\log_k5^{\frac{1}{5}}<\log_k2^{\frac{1}{2}}<\log_k3^{\frac{1}{3}}\)

即\(0<\cfrac{1}{5z}<\cfrac{1}{2x}<\cfrac{1}{3y}\)，

可得\(3y<2x<5z\)，故选\(A\).

• 对两个函数作差进行大小比较；

【人教A版\(P_{68}\)例6】给定函数 \(f(x)=x+1\)， \(g(x)=(x+1)^2\)， \(x \in R\)，

(1). 在同一直角坐标系中画出函数 \(f(x)\)， \(g(x)\) 的图象；

(2). \(\forall x \in R\)， 用 \(M(x)\) 表示 \(f(x)\)， \(g(x)\) 中的最大者，记为\(M(x)=\max \{f(x), g(x)\}\)，例如，当 \(x=2\) 时，\(M(2)\)\(=\)\(\max\{f(2), g(2)\}\)\(=\)\(\max\{3,9\}=9\)，请分别用图象法和解析法表示函数 \(M(x)\).

解法1: 从形的角度入手分析，

(1). 在同一直角坐标系中画出函数 \(f(x)\)， \(g(x)\) 的图象.

(2). 由上图中函数取值的情况, 结合函数 \(M(x)\) 的定义, 可得函数 \(M(x)\) 的图象 .

由 \((x+1)^2=x+1\)， 得 \(x(x+1)=0\).

解得 \(x=-1\)， 或 \(x=0\).

结合上图， 得出函数 \(M(x)\) 的解析式为

\[M(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+1)^2, &x \leqslant-1, \\x+1, &-1<x \leqslant 0, \\(x+1)^2, &x>0.\end{array}\right. \]

解法2: 从数的角度入手分析，

由 \((x+1)^2\geqslant x+1\)，整理得到 \(x^2+x\geqslant 0\)，解得 \(x\leqslant -1\) 或 \(x\geqslant 0\)，

由 \((x+1)^2< x+1\)，整理得到 \(x^2+x< 0\)，解得 \(-1<x<0\)，

则由此得出函数 \(M(x)\) 的解析式为

\[M(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+1)^2, &x \leqslant-1, \\x+1,&-1<x<0, \\(x+1)^2, &x\geqslant 0.\end{array}\right. \]

相关方法

• 作商法：\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{a}{b}>1 \Leftrightarrow a>b}\\{\cfrac{a}{b}=1 \Leftrightarrow a=b}\\{\cfrac{a}{b}<1 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R；b>0)\)

对作商的两个实数有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

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1. 如证明 \(f(x)=x^3\)的单调性时，定义域为 \(R\)，令 \(x_1<x_2\) ，则 \(f(x_1)-f(x_2)\)\(=\)\(x_1^3-x_2^3\)\(=\)\((x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\)\(=(x_1-x_2)\left[(x_1^2+x_1x_2+\cfrac{1}{4}x_2^2)+\cfrac{3}{4}x_2^2\right]\)\(=(x_1-x_2)\left[(x_1+\cfrac{1}{2}x_2)^2+\cfrac{3}{4}x_2^2\right]<0\)，即 \(f(x_1)<f(x_2)\)，故在 \(R\) 上单调递增。 ↩︎

2. 比如已知 \(a>b\)，求证：\(\sqrt{a}>\sqrt{b}\) 时，作差得到 \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(=\)\(\cfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}>0\)，就施行了分子有理化变形。 ↩︎