抽象函数的图象平移对称

前言

典例剖析

已知函数 \(f(2x+1)\) 是奇函数，则函数 \(y=f(2x)\) 的图像成中心对称的点是 【\(\qquad\)】

$A.(1,0)$ $B.(-1,0)$ $C.(\frac{1}{2},0)$ $D.(-\frac{1}{2},0)$

分析：函数\(f(2x+1)\)是奇函数，则其对称中心为\((0,0)\)，

而将\(f(2x+1)\)的图像向右平移 \(\cfrac{1}{2}\) 个单位得到函数\(f(2x)\)平移的本质是，用\(x\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)替换\(f(2x+1)\)中的\(x\)后整理得到\(f(2x)\)，，

即将\((0,0)\)向右平移 \(\cfrac{1}{2}\)个单位后得到\(f(2x)\)的对称中心为点\((\cfrac{1}{2},0)\) ，

故选\(C\)。

【2019石家庄模拟】若函数\(y=f(x)\)的图像恒过点\((1,1)\)，则函数\(y=f(4-x)\)的图像一定经过点_________。

分析：将函数\(y=f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称得到函数\(y=f(-x)\)，

故\(y=f(-x)\)一定经过点\((-1,1)\)，

再将函数\(y\)\(=\)\(f(-x)\)的图像向右平移\(4\)个单位平移的本质是，用\(x\)\(-\)\(4\)替换\(y\)\(=\)\(f(-x)\)中的\(x\)后，整理得到\(y\)\(=\)\(f[-(x-4)]\)\(=\)\(f(4-x)\)，，

得到函数\(y=f(4-x)\)的图像，故函数\(y=f(4-x)\)的图像一定经过点\((3,1)\).

【2022届高三数学三轮模拟冲刺用题】已知函数 \(f(3x)\) 的图像仅关于点 \((2,0)\) 对称，若 \(f(3x+m)\) 为奇函数，则 \(m\)=_______.

解析：已知函数 \(f(3x)\) 的图像仅关于点 \((2,0)\) 对称，则将其向左平移两个单位，得到函数 \(f[3(x+2)]=f(3x+6)\)，其一定关于点 \((0,0)\) 对称，必为奇函数，现已知 \(f(3x+m)\) 为奇函数，故可知 \(m=6\) .