函数单调性的应用

前言

应用角度

• 利用单调性比较大小

【构造函数+大小比较】已知\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的函数，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，记\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，则【\(\qquad\)】

$A.a < b < c$ $B.b < a < c$ $C.c < a < b$ $D.c < b < a$

分析：注意到\(a，b，c\)的结构，由题目猜想：要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，

那么是否正确，以下做以验证。

令\(0< x_1< x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，

则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，

故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)这三个的大小关系，

只需要比较自变量的大小就可以了；

由于\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\)，\(0 < 0.3^2=0.09 <1\)，\(log_25 > log_24=2\)，

故\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\)，即\(b < a < c\)。故选\(B\).

【2020年全国卷Ⅱ卷理数第11题文数第12题】若\(2^x-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}\)，则【\(\qquad\)】

$A.\ln (y-x+1)>0$ $B.\ln (y-x+1)<0$ $C.\ln|x-y|>0$ $D.\ln|x-y|<0$

分析：要顺利解答本题目，需要先将原不等式作等价转化，\(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}\)，

这样我们就能看到上述不等式的两端，是同结构的，故想到构造函数，

解析：令\(f(t)=2^t-3^{-t}\)，则\(t\in R\)，且\(f(t)\)在\(t\in R\)上单调递增\(y\)\(=\)\(2^t\)为增函数，\(y\)\(=\)\(-3^{-t}\)为增函数，增+增=增，故\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)\(-\)\(3^{-t}\)为增函数。单调性的给出方式，

故原不等式等价于\(f(x)<f(y)\)，由\(f(t)\)单调递增，得到\(x<y\)，

故\(y-x>0\)，\(y-x+1>1\)，则\(ln(y-x+1)>0\)；故选\(A\)；

【2020年新课标Ⅰ理科数学第\(12\)题】【上例的延申题】 若 \(2^{a}+\log_{2}a=4^{b}+2\log_{4}b\)， 则 【\(\qquad\)】

$A.a > 2b$ $B.a < 2b$ $C.a > b^2$ $D.a < b^2$

解析：因为 \(2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2}b\)，

又由于 \(2^{2b}+\log_{2}b<2^{2b}+\log_{2}2b=2^{2b}+\log_{2}b+1\)，

故 \(2^{a}+\log_{2}a<2^{2b}+\log_{2}2b\)，

此时令 \(f(x)=2^{x}+\log_{2}x\)， 则上述条件变化为 \(f(a)<f(2b)\)这样就能利用新构造的函数的性质比较大小，此时主要用到定义域和单调性。\(\quad\)，

由指对数函数的单调性可得 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内单调递增，且 \(f(a)<f(2b)\)，

则得到 \(a<2b\)，故选：\(B\) .

• 利用单调性求解不等式

【2020\(\cdot\)高三文科练习】【具体函数】已知函数\(f(x)=lnx+2^x\)，若\(f(x^2-4)<f(1)\)，则实数\(x\)的取值范围是______。

分析：函数的定义域为\((0，+\infty)\)，且在定义域上单调递增，故由\(f(x^2-4)<f(1)\)，

得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}<x<-2\)或\(2<x<\sqrt{5}\)，

故填写\((-\sqrt{5}，2)\cup(2，\sqrt{5})\)。

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】【抽象函数】已知定义在实数集\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(1)=4\)，且\(f(x)\)的导函数\(f'(x)<3\)，则不等式\(f(lnx)>3lnx+1\)的解集为______。

分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体，这样原不等式就变形为\(f(t)>3t+1\)，

此时我们用\(左-右\)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】

令\(g(x)=f(x)-3x-1\)，于是\(g'(x)=f'(x)-3\)，由已知条件\(f'(x)<3\)，则可知\(g'(x)<0\)，

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，

又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)，

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在\(R\)上单调递减，且有唯一的零点为\(x=1\)，

故由\(g(x)>0\)可以得到解为\(x<1\)，由\(g(x)<0=g(1)\)可以得到解为\(x>1\)，

现在\(f(lnx)>3lnx+1\)等价于\(g(lnx)>0\)，故得到\(lnx<1\)，

解得\(0<x<e\)，故解集为\((0，e)\)。

解后反思：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造，那么我们自然就会问：

• 利用单调性求参数的取值范围

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知\(a>0\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n = \begin{cases} &(3-a)n-3 &n\leq 7 \\ &a^{n-6} &n>7 \end{cases}\)，数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列，求\(a\)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，\(\begin{cases} 3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{cases}\)，解得：\(a\in(2，3)\)

感悟反思：1、本题目和上例非常类似，但是又不一样，原因是数列是特殊的函数，所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样，而且不能取等号。

2、如果是一般的函数\(f(x)\)，则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系；