夹逼定理

前言

夹逼定理在高中阶段的应用，我们可以理解成是用不等关系来变相、晦涩地给出相等关系。

典例剖析

【2022届高三理科一轮试题】函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，若对于任意的\(x_1\)，\(x_2\in D\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，则称函数\(f(x)\)在\(D\)上为非减函数 . 设函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上为非减函数，且满足以下三个条件：①\(f(0)=0\)；②\(f(\cfrac{x}{3})=\cfrac{1}{2}f(x)\)；③\(f(1-x)=1-f(x)\)；则\(f(\cfrac{1}{3})+f(\cfrac{1}{8})\)等于【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{2}$ $B.\cfrac{2}{3}$ $C.\cfrac{3}{4}$ $D.1$

分析：对题目中的部分条件的解读，

“当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，则称函数\(f(x)\)在\(D\)上为非减函数” ，其实就是过去所说的非严格单调递增函数，其体现在图像上，说明图像总体上是上升的，其间可以出现水平线段的情形；现行教材中，“当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)< f(x_2)\)，则称函数\(f(x)\)在\(D\)上为单调[严格单调]递增函数” ，其体现在图像上，说明图像总体上是上升的，其间不可以出现水平线段的情形；

③ \(f(1-x)=1-f(x)\)，即 \(f(1-x)+f(x)=1\)，刻画的是函数的对称性，说明函数是中心对称函数，对称中心为 \((-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2})\)；

解析：由于 \(f(0)=0\)，\(f(1-x)=1-f(x)\)，令\(x=0\)，则得到\(f(1)=1\)，

令\(x=\cfrac{1}{2}\)，则 \(f(\cfrac{1}{2})=1-f(\cfrac{1}{2})\)，得到 \(f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{1}{2}\)，

又由于\(f(\cfrac{x}{3})=\cfrac{1}{2}f(x)\)，令\(x=1\)，则得到 \(f(\cfrac{1}{3})=\cfrac{1}{2}f(1)=\cfrac{1}{2}\)；

再令\(x=\cfrac{1}{2}\)，由\(f(\cfrac{x}{3})=\cfrac{1}{2}f(x)\)，则得到 \(f(\cfrac{1}{6})=\cfrac{1}{2}f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{1}{4}\)；

再令\(x=\cfrac{1}{3}\)，由\(f(\cfrac{x}{3})=\cfrac{1}{2}f(x)\)，则得到 \(f(\cfrac{1}{9})=\cfrac{1}{2}f(\cfrac{1}{3})=\cfrac{1}{4}\)；

由于 \(\cfrac{1}{9}<\cfrac{1}{8}<\cfrac{1}{6}\)，由非减函数的定义可知，必有

\(f(\cfrac{1}{9})\leqslant f(\cfrac{1}{8})\leqslant f(\cfrac{1}{6})\)，即 \(\cfrac{1}{4}\leqslant f(\cfrac{1}{8})\leqslant \cfrac{1}{4}\)，

故 \(f(\cfrac{1}{8})=\cfrac{1}{4}\)，则 \(f(\cfrac{1}{3})+f(\cfrac{1}{8})=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}\)，故选 \(C\) .

已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((-2，0)\)，且不等式\(2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}{x}^{2}+2\)对一切实数\(x\)都成立，求函数\(f(x)\)的解析式 .

【解析】：由题意得：\(f(-2)=4a-2b+c=0①\)，

因为不等式\(2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}x^2+2\)对一切实数\(x\)都成立，

令\(x=2\)，得：\(4≤f(2)≤4\)，所以\(f(2)=4\)，即\(4a+2b+c=4②\)

由①②解得：\(b=1，且c=2-4a，\)

所以\(f(x)=ax^2+x+2-4a\)，

由题意得：\(f(x)-2x≥0\)且\(f(x)-\cfrac{1}{2}x^2-2≤0\)对\(x∈R\)恒成立，

即\(\begin{cases}ax^2-x+2-4a\ge 0③\\(a-\cfrac{1}{2})x^2+x-4a\leq 0 ④\end{cases}\)对\(x\in R\)恒成立，

对③而言，由\(a>0\)且\(\Delta =1-4a(2-4a)\leq 0\)，

得到\((4a-1)^2\leq 0\)，所以\(a=\cfrac{1}{4}\)，经检验满足④，

故函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=\cfrac{1}{4}x^2+x+1\)。

解后反思：注意由\(4\leq f(2)\leq 4\)得到\(f(2)=4\)的结论的使用，即夹逼定理，或者理解为用不等关系给出相等关系。

教材应用

\(3^{\pi}\)的值是个实数，也使用的是夹逼定理。