分式函数的单调性及应用

前言

关于分式函数，我们的普遍感受是这类函数不太好掌握，当涉及到单调性的应用问题时，我们应该想到图像法和导数法，更应该意识到此时应用导数法有很大的出错可能，而且出错以后往往想不清楚错在哪里。

部分分式

$f(x)$=$\cfrac{x}{x-1}$我们称$\cfrac{x}{x-1}$为整体分式，由于分子分母位置都有自变量，如果不对其作相应的变形，则我们根本看不透其单调性；$\quad$=$\cfrac{x-1+1}{x-1}$$=$$1+\cfrac{1}{x-1}$我们称$1+\cfrac{1}{x-1}$为部分分式；其中第一部分$1$为整式，第二部分$\cfrac{1}{x+1}$为分式，由于整体不是分式，故称为部分分式；不过这个等价变形太好了，自变量只出现在部分分式的分母位置上，这样非常方便判断单调性，也方便我们做函数的图像

[方法储备]：上述变形中最常用的两个变形为换元法和配凑法；

变换之路

作函数\(g(x)=\cfrac{x}{x-1}\)的图像；

分析：准备作图前的变换，\(g(x)=\cfrac{x}{x-1}=1+\cfrac{1}{x-1}\)；

选\(y=\cfrac{1}{x}\)为变换作图的模板函数，开始变换如下，

[基本作图]：\(y=\cfrac{1}{x}\) \(\Rightarrow\) \(y=\cfrac{1}{x-1}\) \(\Rightarrow\) \(y=1+\cfrac{1}{x-1}\) \(\Rightarrow\) 对称中心为\((1,1)\)；

[快速作图]：相当于基本作图的简化版本，首先找到对称中心\((1,1)\)，过此点分别作直线\(x=1\)和\(y=1\)，这是两条渐*线；由两条渐*线将*面分为类似的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限，此时观察部分分式的分子[请确保分式的前面是\(+\)号，如果是\(-\)号，将减号移到分子上，部分分式的前面仍然写加号]，如果分子为正，则在类第Ⅰ和类第Ⅲ象限内作函数的图像，如图所示；

如果分子为负，则在类第Ⅱ和类第Ⅳ象限内作函数的图像；

作函数\(y=\cfrac{5x+1}{2x-1}\)的图像；

分析：先做相应的变形，\(y=\cfrac{5x+1}{2x-1}=\cfrac{5(x+\frac{1}{5})}{2(x-\frac{1}{2})}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{x+\frac{1}{5}}{x-\frac{1}{2}}\)

\(=\cfrac{5}{2}\cdot (1+\cfrac{\frac{7}{10}}{x-\frac{1}{2}})=\cfrac{5}{2}+\cfrac{\frac{7}{4}}{x-\frac{1}{2}}\)

快速作图：对称中心为\((\cfrac{1}{2},\cfrac{5}{2})\)；\(\cfrac{7}{4}>0\)，在类第Ⅰ和第Ⅲ象限作图，如下所示：

引申结论：

• ①函数\(f(x)=b+\cfrac{c}{x-a}\)，\(a\)，\(b\)，\(c\)为常数，则其对称中心为\((a,b)\)；
• ②如果\(c>0\)，则单调递减区间为\((-\infty,a)\)和\((a,+\infty)\)；如果\(c<0\)，则单调递增区间为\((-\infty,a)\)和\((a,+\infty)\)；
• ③其解析式必然满足\(f(x)+f(2a-x)=2b\)；

相关变形

• 这些变形是在分式函数中很常用的：分子分母同乘法\(\bigg [\cfrac{2^{-x}}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2^x+1}\bigg]\)，分式裂项法\(\bigg[\cfrac{b+c}{a}\)\(=\)\(\cfrac{b}{a}\)\(+\)\(\cfrac{c}{a}\bigg]\)，配凑法，换元法，需要切实掌握；

\(f(x)=\cfrac{2^x+3}{1+2^{x+1}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(1+2^{x+1})+\cfrac{5}{2}}{1+2^{x+1}}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{5}{2(1+2^{x+1})}\)

\(f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\cfrac{(e^x-e^{-x})\cdot e^x}{(e^x+e^{-x})\cdot e^x}=\cfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\cfrac{e^{2x}+1-2}{e^{2x}+1}=1-\cfrac{2}{e^{2x}+1}\)

• 那么，如何才能做到随便给个分式，我都有单调性的变形思路呢？

其一，熟练掌握形如\(y=\cfrac{5x+1}{2x-1}\)的分式[分子分母都是一次式]变形；其二，深入理解代数式，其中\(x\)可以替换为指数式\(2^x\)，可以替换为对数式\(log_2x\)，或三角式\(\sin x\)等等，故碰到如下的：

\(f(x)=\cfrac{5\cdot3^x+1}{2\cdot3^x-1}\xlongequal{3^x\Rightarrow x}\cfrac{5(3^x+\frac{1}{5})}{2(3^x-\frac{1}{2})}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{3^x+\frac{1}{5}}{3^x-\frac{1}{2}}\)

\(=\cfrac{5}{2}\cdot (1+\cfrac{\frac{7}{10}}{3^x-\frac{1}{2}})=\cfrac{5}{2}+\cfrac{\frac{7}{4}}{3^x-\frac{1}{2}}\)

令\(3^x-\cfrac{1}{2}=0\)，则\(x=-\log_32\)，

故由复合函数法可知，函数\(f(x)\)在\((-\infty,-\log_32)\)上单调递减，在\((-\log_32,+\infty)\)上单调递增.

典例剖析

已知函数\(f(x)=\cfrac{x-a}{2x-1}\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。

法1：导数法，这个方法非常容易出错；

由于函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

故\(f'(x)=\cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}\leq 0\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上恒成立，

即\(2a-1\leq 0\)恒成立，得到\(a\leq \cfrac{1}{2}\)，

检验，但是当\(a=\cfrac{1}{2}\)时，代入原函数得到\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，为常函数，则要舍去，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

法2：图像法，将函数变形为\(f(x)=\cfrac{-a+\cfrac{1}{2}}{2x-1}+\cfrac{1}{2}\)，

即函数的对称中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{2})\)，如果要函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

只需要\(-a+\cfrac{1}{2}>0\)即可，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

设函数\(f(x)=\cfrac{ax+1}{x+2a}\)在区间\((-2,+\infty)\)上是增函数，那么\(a\)的取值范围是__________.

法1：利用数形结合法求解，

由于\(f(x)=\cfrac{ax+2a^2-2a^2+1}{x+2a}=a+\cfrac{1-2a^2}{x+2a}\)，

由于函数在区间\((-2,+\infty)\)上是增函数，

所以 \(\left\{\begin{array}{l}1-2a^2<0\\-2a\leqslant-2\end{array}\right.\)，解得 \(a\geqslant 1\)，故 \(a\in [1,+\infty)\) .

法2：导数法，非常容易出错，

\(f'(x)=\cfrac{a\cdot(x+2a)-(ax+1)\cdot1}{(x+2a)^2}=\cfrac{2a^2-1}{(x+2a)^2}\)，

由于函数在区间\((-2,+\infty)\)上是增函数，

故\(f'(x)\geqslant 0\)在区间\((-2,+\infty)\)上恒成立，且函数不是常函数，

故\(2a^2-1\geqslant0\)，解得 \(a\leqslant -\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)或 \(a\geqslant \cfrac{\sqrt{2}}{2}\)

验证，当 \(a=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)时，函数\(f(x)=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，为常函数，故舍去，

则 \(a\)的取值范围应该是 \(a<-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)或 \(a>\cfrac{\sqrt{2}}{2}\) . 这个解法是错误的。

解后反思：法2为什么会出错，到底错在了哪里，估计好多学生还找不到出错的原因。

当我们只要求\(f'(x)\geqslant 0\)时，并没有保证函数在区间\((-2,+\infty)\)上的每一个值都有意义，由图像可以看出函数在\((-2,+\infty)\)在某一点处图像是间断的，故这种解法是错误的。