2021届宝鸡质检[3]理数+参考答案

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参考答案

典例解析

【2021届宝鸡市质检3理第12题】 切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 \(E:\) 对任意的 \(x\)\(\in\)\([m,\)$ n]$， 函数 \(y=|f(x)-(ax+b)|\) 的最大值为 \(E\)， 即 \(E=\max\limits_{m\leqslant x\leqslant n}|f(x)-(ax+b)|\) . 把使 \(E\) 取得最小值时的直线 \(y=ax+b\) 叫切比雪夫直线， 已知 \(f(x)=x^{2}\)， \(x\in[-1,2]\)，有同学估算出了切比雪夫直线中 \(x\) 的系数 \(a=1\)，在这个前提下，\(b\) 的值为 【\(\quad\)】

$A.\cfrac{7}{8}$ $B.1$ $C.\cfrac{1}{4}$ $D.\cfrac{11}{8}$

解析：由题可知，切比雪夫直线为 \(y=x+b\)，系数 \(b\) 待定，曲线为 \(f(x)=x^2\)， \(x\in [-1,2]\)

令 \(g(x)=|x^2-x-b|\)，则有

则 \(E=\max\limits_{-1\leqslant x\leqslant 2}|x^2-x-b|=\max\limits_{-1\leqslant x\leqslant 2}|(x-\cfrac{1}{2})^2-b-\cfrac{1}{4}|=h(x)\)，

由于函数的最大值可能在左右端点处取到，此时 \(E=h(x)=g(-1)=2-b\)，也可能在对称轴处取到，此时 \(E=h(x)=g(\cfrac{1}{2})=b+\cfrac{1}{4}\)，

其中由 \(2-b=b+\cfrac{1}{4}\)，可以求得 两个最值相等的临界值为 \(b=\cfrac{7}{8}\)，

故 \(E=h(x)=\left\{\begin{array}{l}2-b，&b\leqslant\cfrac{7}{8}\\b+\cfrac{1}{4}，&b>\cfrac{7}{8}\end{array}\right.\)

接下来求解函数 \(h(x)\) 的最小值点，由分段函数可得，

在 \(b\leqslant \cfrac{7}{8}\) 时，\(h(x)_{min}=\cfrac{9}{8}\)，当 \(b>\cfrac{7}{8}\) 时，\(h(x)_{min}=\cfrac{9}{8}\)，

故函数 \(h(x)\) 的最小值点为 \(b=\cfrac{7}{8}\)，故 \(b=\cfrac{7}{8}\)，故选 \(A\) .

【2021届宝鸡市质检3理第17题】已知函数 \(f(x)=2\cos^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-1\)， \(x\in[0, \pi]\).

(1). 求函数 \(f(x)\) 的递增区间;

(2). 在 \(\Delta ABC\) 中，内角 \(B\) 满足 \(f(B)=-2\)， 且 \(BC=4\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\)， 求 \(\Delta ABC\) 的周长.

解析：当求得 \(b^2+c^2=32\)以后，找不到另外一个独立的方程，此时应该这样想，需要用余弦定理或正弦定理得到关于 \(b\) 和 \(c\)的一个方程。

比如用余弦定理， \(b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B\)，