图像和曲线的平移变换

前言

点的平移、函数的平移、曲线的平移，向量的平移是不一样的。

点的平移

点的平移口诀： “向左为 \(-\) 向右为 \(+\)，向上为 \(+\) 向下为 \(-\) ”[和坐标轴方向一致]；

➊引例，如将点 \(P(x，y)\) 向左 \(3\) 个单位，再向上 \(2\) 个单位后得到的点 \(P'(x-3，y+2)\)；

➋引例，再如将点 \(P(x，y)\) 沿向量 \(\vec{a}=(2,-3)\) 平移后得到 \(P'(x+2，y-3)\)；

图像平移

函数图像的平移口诀： “向左为 \(+\) 向右为 \(-\)，向上为 \(+\) 向下为 \(-\) ”；

➊引例，如函数 \(f(x)=2^x\) 的图象左移 \(2\) 个单位且下移 \(3\) 个单位得到的图象的解析式为\(g(x)=2^{x+2}-3\)。

[原因分析]：采用点的坐标平移法则和相关点法可以解释；

设函数 \(f(x)\) 上的任意一点的坐标为 \(P(x,y)\) ，变化后对应的点的坐标为 \(P'(x',y')\)，

则对应的变换为 \(\phi:\begin{cases}x'=x-2\\y'=y-3\end{cases}\) ，其对应的逆变换为 \(\phi':\begin{cases}x=x'+2\\y=y'+3\end{cases}\)

将其代入函数 \(f(x)\)，得到 \(y'+3=f(x'+2)=2^{x'+2}\)，

即\(y'=2^{x'+2}-3\)，故 \(g(x)=2^{x+2}-3\)；

➋引例，将抽象函数 \(h(x)\) 向右平移 \(3\) 个单位，再向上平移 \(2\) 个单位，得到函数 \(g(x)=h(x-3)+2\)；

➌引例，将抽象函数 \(g(x)\) 沿向量 \(\vec{a}=(2,-3)\) 平移后得到 函数 \(m(x)=g(x-2)-3\)；

曲线平移

函数图像的平移口诀： “向左为 \(+\) 向右为 \(-\)，向上为 \(-\) 向下为 \(+\) ”[和坐标轴方向相反]；

➊引例，如曲线 \(C：x^2+y^2=1\) 向左平移 \(2\) 个单位，再向下平移 \(3\) 个单位得到新曲线方程为\(C'：(x+2)^2+(y+3)^2=1\)。

[原因分析]：采用点的坐标平移法则和相关点法可以解释；

设曲线 \(C\) 上的任意一点的坐标为 \(P(x,y)\) ，变换后对应的曲线 \(C'\) 上的对应点的坐标为 \(P'(x',y')\)，

则对应的变换为 \(\psi:\begin{cases}x'=x-2\\y'=y-3\end{cases}\) ，其对应的逆变换为 \(\psi':\begin{cases}x=x'+2\\y=y'+3\end{cases}\)

将其代入曲线 \(C\)，得到 \((x'+2)^2+(y'+3)^2=1\)，

即新曲线方程为 \(C'：(x+2)^2+(y+3)^2=1\) .

➋引例，曲线 \(C：f(x,y)=0\) 向右平移 \(2\) 个单位，再向上平移 \(3\) 个单位得到新曲线方程为\(C'：f(x-2,y-3)=0\).

➌引例，曲线 \(C：f(x,y)=0\) 沿向量 \(\vec{a}=(2,-3)\) 平移后得到新曲线方程为\(C'：f(x-2,y+3)=0\).

按向量平移

• 点 \(P(x，y)\) 按向量 \(\vec{a}=(h，k)\) 平移后得到点 \(P'(x+h，y+k)\) ；
• 函数 \(y=f(x)\) 的图像 \(C\) 按向量 \(\vec{a}=(h，k)\) 平移后得到图像 \(C'\) ，则 \(C'\) 的函数解析式为 \(y=f(x-h)+k\)；
• 曲线 \(C：f(x，y)=0\) 按向量 \(\vec{a}=(h，k)\) 平移后得到图像 \(C'\) ，则 \(C'\) 的方程为 \(f(x-h，y-k)=0\)；
• 向量 \(\vec{m}=(x，y)\) 按向量 \(\vec{a}=(h，k)\) 平移后得到的向量仍然为向量 \(\vec{m}=(x，y)\) 。

典例剖析

【2020 \(\cdot\) 陕西西安师大附中模拟】若函数 \(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) 的图象向右平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度，再向上平移 \(1\) 个单位长度，得到 \(g(x)\) 的图象.

解析： \(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\) 的图象向右平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度，

其实质是用 \(x-\cfrac{\pi}{3}\) 替换解析式中的 \(x\)，

代入整理得到， \(y=\sin[2(x-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{6}]=\sin(2x-\cfrac{\pi}{2})=-cos2x\)，

再将其图像向上平移 \(1\) 个单位长度，其实质是用 \(y-1\) 替换解析式中的 \(y\)，

代入整理得到，\(y-1=-\cos2x\)，即\(y=-\cos2x+1\)，则 \(g(x)=-\cos2x+1\).

【2019 \(\cdot\) 天津】已知函数 \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\) (\(A>0\)， \(\omega>0\)， \(|\varphi|<\pi\)) 是奇函数，将 \(y=f(x)\) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 \(2\) 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 \(g(x)\)， 若 \(g(x)\) 的最小正周期为 \(2\pi\)， 且 \(g(\cfrac{\pi}{4})\)\(=\)\(\sqrt{2}\)， 则 \(f(\cfrac{3\pi}{8})\) 等于 【\(\quad\)】

$A.-2$ $B.-\sqrt{2}$ $C.\sqrt{2}$ $D.2$

解析： 由 \(f(x)\) 为奇函数，则\(\omega\times 0+\varphi=k\pi\)，可得 \(\varphi=k\pi(k \in Z)\)，

又 \(|\varphi|<\pi\)， 所以 \(\varphi=0\)， 则 \(f(x)=a\sin(\omega x)\)，

将 \(y=f(x)\) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 \(2\) 倍(纵坐标不变)，其实质是用 \(\cfrac{x}{2}\) 替换 \(x\)，

整理得到， \(g(x)=A\sin\cfrac{\omega x}{2}\).

由 \(g(x)\)的最小正周期为 \(2\pi\)， 可得 \(\cfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\), 故 \(\omega=2\)，

故\(g(x)=A\sin x\)，\(g(\cfrac{\pi}{4})=A\sin\cfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\)， 所以 \(A=2\)，

所以 \(f(x)=2\sin2x\), 故 \(f(\cfrac{3\pi}{8})=2\sin\cfrac{3\pi}{4}=\sqrt{2}\). 故选 \(C\).

【2021届高三文数三轮模拟训练题】函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x，&x\geqslant 0\\-x^2-2x，&x<0\end{array}\right.\)，将 \(f(x)\) 的图像向右平移 \(1\) 个单位长度，得到函数 \(g(x)\) ，则不等式 \(|g(x)-2|\leqslant 1\) 的解集为【\(\quad\)】

$A.[\cfrac{3}{2},\cfrac{5}{2}]\cup \{0\}$ $B.[\cfrac{3}{2},\cfrac{5}{2}]$ $C.[\cfrac{5}{2},+\infty)\cup\{0\}$ $D.(-\infty，\cfrac{3}{2}]$

提示：\(g(x)=f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}2(x-1)，&x-1\geqslant 0\\-(x-1)^2-2(x-1)，&x-1<0\end{array}\right.\)

即\(g(x)=\left\{\begin{array}{l}2(x-1)，&x\geqslant 1\\-(x-1)^2-2(x-1)，&x<1\end{array}\right.\)

不等式 \(|g(x)-2|\leqslant 1\) 等价于 \(1\leqslant g(x)\leqslant 3\)，

做出图像如图，

利用图像可得，解集为 \([\cfrac{3}{2},\cfrac{5}{2}]\cup \{0\}\)，故选 \(A\) .