曲线的方程与方程的曲线
曲线的方程与方程的曲线，是一对孪生概念，说起来比较绕口，其学习理解有一定的难度。
前言
曲线的方程与方程的曲线，是一对孪生概念，其学习理解有一定的难度。
回顾铺垫
通过初中的学习，我们已经知道，在平面直角坐标系中，曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹。比如：
① 角平分线：是平面内到角的两边距离相等的点的集合；
② 线段的中垂线：是平面内到线段的两个端点的距离相等的点的集合；
③ 圆：是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹或点的集合；
当我们引入了平面直角坐标系后，为了更好的表述刻画和研究问题，我们需要给出曲线和方程的概念，因为她们之间有一定的对应关系：
抽象概括
在平面直角坐标系中，如果某曲线 \(C\) 上的点与一个二元方程 \(f(x, y)=0\) 的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线 \(C\) 上的点的坐标都是方程 \(f(x, y)=0\) 的解；
(2)以方程 \(f(x, y)=0\) 的解为坐标的点都在曲线 \(C\) 上。
那么，方程 \(f(x, y)=0\) 叫作曲线 \(C\) 的方程，曲线 \(C\) 叫作方程 \(f(x, y)=0\) 的曲线。
反思总结：曲线的方程是对曲线从数的角度的再刻画，方程的曲线是对方程从形的角度的再刻画，属于一个问题的数和形两个方面，只有都透彻理解，才能更好的应用于解题和数学素材的理解。
案例：以圆心在坐标原点，半径为 \(2\) 的圆 \(\odot O\) 为例，加以说明；
先给出如下的圆的图形，我们通过坐标法可以得到曲线圆 \(\odot O\) 的方程为 \(x^2+y^2=4\)，详细的求解过程如下：
用坐标法求以圆心在坐标原点，半径为 \(2\) 的圆 \(\odot O\) 的轨迹方程：
① 建系：以它的圆心为原点、互相垂直的两条半径所在的直线 为 \(x\) 轴和 \(y\) 轴建立如图所示的平面直角坐标系；
② 设点：在圆上任意选取一点 \(M(x, y)\),
③ 列关系式：根据圆的定义可知 : \(|OM|=2\)，
④ 化简结果：由平面内任意两点间的距离公式可知，\(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=2\)，即
由此可见[复盘上述的求解过程，另外取一个点也是这样]，以原点为圆心 、以 \(2\) 为半径的圆上的点的坐标都是方程 \(x^{2}+y^{2}=4\) 的解.
⑤ 检验或证明：反之，设 \(x_{1}, y_{1}\) 是方程 \(x^{2}+y^{2}=4\) 的任意一组解，
则有 \(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4\)，即\(\sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}=2\)，
这表明以 \((x_{1}, y_{1})\) 为坐标的点到原点的距离等于 \(2\)，
即这个点在以原点为圆心、\(2\)为半径的圆上。
这样，我们就可以用 \(x^{2}+y^{2}=4\) 来表示以原点为圆心、 \(2\) 为半径的圆。
到此，我们才可知上述的数的形式和形的形式有对应性，故我们称 \(x^{2}+y^{2}=4\) 是以原点为圆心、\(2\) 为半径的圆的方程。
反例廓清
由于上述的典例太过经典，太过严谨，结果容易在认知上给我们造成一个误区，就是随便一个变形，我们就能得到曲线的方程，这是错误的；举例如下：
比如，直线 \(AB\) 的方程为 \(x^2-y^2=0\)，这就是错误的，原因是直线 \(AB\) 上的所有点都满足方程 \(x^2-y^2=0\)[这个称作直线上的点具备纯粹性]，而以方程的任意一组解\(x_1\) ，\(y_1\) 为坐标的点 \((x_1,y_1)\) ，不全都在直线 \(AB\) 上，比如点 \((3,-3)\) 就不在直线 \(AB\)上，而是在直线 \(CD\) 上[这个称作方程的解不具备完备性]，故是错误的，但是如果说 直线 \(AB\) 的方程为 \(x-y=0\)，就是正确的，原因是 直线 \(AB\) 上的点具备纯粹性，且方程 \(x-y=0\) 的解具备完备性，故是正确的。
起底错因
但是，我们在数学变形中，容易出现不恒等变形，故容易造成错误。
比如，给定方程：\(y=\sqrt{1-x^2}\)，两边平方，得到\(y^2=1-x^2\)，
整理得到 \(x^2+y^2=1\)，即方程的曲线是单位圆，这就是错误的，
原因是 \(x\) 轴下方的图形上的点不满足方程，故错误；
如何修正呢？由\(y=\sqrt{1-x^2}\)，得到 \(y\geqslant 0\)，
故方程\(y=\sqrt{1-x^2}\)的曲线应该是 \(x\) 轴上方的单位圆，
或者说方程的等价变形形式为 \(x^2+y^2=1\)，\((y\geqslant 0)\).
典例剖析
- 求轨迹方程的题目，其实质就是求曲线对应的方程，其易错点就在变形的不等价性，故需要特别注意检验或者验证。
分析：本题目是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化间技能、技巧等。解答需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线。
解析：以 \(BC\) 所在直线为 \(x\) 轴，\(BC\) 的中点为原点，\(BC\) 的中垂线为 \(y\) 轴建立平面直角坐标系，
设 \(P(x, y)\) 是轨迹上任意一点, 又 \(|BC|=2\)， 故有 \(B(-1,0)\)， \(C(1,0)\)， 则\(A(0,\sqrt{3})\)，
由于 \(|PA|^{2}=|PB|^{2}+|PC|^{2}\)，
即 \(x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+(x-1)^{2}+y^{2}\)，
化简得到， \(x^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}=4\)，
又由于点 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 内， 所以 \(y>0\)，
所以， \(P\) 点的轨迹方程为 \(x^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}=4(y>0)\).
其轨迹如图所示，为以 \((0,-\sqrt{3})\) 为圆心，半径为 \(2\) 的圆在 \(x\) 轴上方的圆弧.
