指、对数函数底数 $a$ 的规定理由

前言

通过本博文解释指数函数和对数函数的底数\(a>0\)且\(a\neq1\)的规定理由。

指数函数

对于指数函数 \(y=a^x\) 而言，我们必须限制其底数 \(a\) 的取值；否则可能出现“混乱局面”：

①若 \(a＜0\)，则对于 \(x\) 的某些数值，可使\(a^x\)无意义，如\((-2)^{\frac{3}{4}}\)在实数范围内函数无意义；也可能出现一个自变量对应两个函数值的情形，比如若指数函数可以是这样的，则对于函数\(f(x)\)\(=\)\((-2)^x\)而言，\((-2)^{\frac{6}{2}}\)\(=\)\(8\) ，而\((-2)^3\)\(=\)\(-8\)，这样一个自变量\(-2\)，对应了两个函数值，这是不容许的。

②若\(a＝0\)，则当\(x＞0\)时，\(a^x＝0\)，如\(0^2=0\)；当\(x\leqslant 0\)时，\(a^x\)无意义，如\(0^{-\frac{1}{2}}\)无意义．

③若\(a＝1\)，则对于任何\(x∈R\)， \(a^x\)是一个常量\(1\)，没有研究的必要性．

为了避免上述各种情况，所以规定 \(a＞0\) 且 \(a≠1\) ，这样对于任何 \(x∈R\) ，\(a^x\) 都有意义．

[教材上的原话]指数函数反映了实数 \(R\) 与正实数 \(R^{+}\) 之间的一种一一对应关系。

对数函数

由于同底数的对数函数和指数函数互为反函数，故对数函数\(y=\log_ax\)的底数也要规定 \(a＞0\) 且 \(a≠1\) .