研讨|互为逆否命题的两个命题的真假证明

前言

近日，有博友问，如何证明互为逆否命题的两个命题的真假性，思索后加以整理，和各位探讨。

回答学生

如果有学生提问，我们仅仅需要举例，让学生感受一下，互为逆否命题的两个命题是同真同假的，没必要给他们说严格证明的方法；因为我们学习常用逻辑用语时，仅仅是了解了逻辑的初步知识，目的不是研究逻辑，而是用逻辑用语来刻画、表达数学素材，让其表达形式更简洁、精炼。

引例1，原命题：“若 \(x^{2}-3x+2=0\)，则 \(x=1\)”，为假命题，

其逆否命题是：“ 若 \(x\neq 1\)，则 \(x^{2}-3x+2\neq 0\) ”，也为假命题；

引例2，原命题：“若 \(x=1\)，则 \(x^{2}-3x+2=0\) ”，为真命题，

其逆否命题是：“若 \(x^{2}-3x+2\neq 0\)，则 \(x\neq 1\) ”，也为真命题；

教师研讨

但是，同样的问题，如果是教师之间的研讨，那就需要首先将问题高度抽象化，然后用数学语言加以严格证明。

同样，为了保证证明的严格性和准确性，我们将证明的命题形式限定为“若\(p\)，则\(q\)”的假言命题类型[高中阶段碰到的命题形式不见得都是假言命题类型]；

证明：为了表述方便，我们先约定，用符号\(p(x)\)表示元素\(x\)具有属性\(p\)，或者满足属性\(p\)，用集合\(A\)表示所有具有属性\(p\)的元素构成的集合，

已知原命题为：“ 若 \(p\)，则 \(q\) ”，为真命题；则其逆否命题为：“ 若 \(\neg q\)，则 \(\neg p\) ”，我们欲证明其亦为真命题；

则 \(A=\{x\mid p(x)\) 成立 \(\}\)，\(B=\{x\mid q(x)\) 成立 \(\}\)，全集为 \(U\)；

由于原命题为真命题，则 \(A\subseteq B\) 必然成立；

又由于 \(\neg q\) 对应的集合为 \(C_{U}B\)， \(\neg p\) 对应的集合为 \(C_{U}A\)，

则由 \(A\subseteq B\) 可知， \(C_{U}B\subseteq C_{U}A\) 必然成立，

故 “ 若 \(\neg q\)，则 \(\neg p\) ” 亦为真命题；

同理，可证明原命题若为假命题，其逆否命题也为假命题；

综上所述，互为逆否命题的两个命题是同真同假的.