空间中线面位置关系的证明思路

前言

对空间中的线面位置关系的判定思路作以总结和梳理，有助于开通思维，提升我们的数学素养。为便于表述，我们设定：\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(l\)为空间中的四条不同直线，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)为空间中三个不同平面；

判定线线平行

图形语言	文字语言	符号语言
	三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三 边的一半	\(\left.\begin{array}{r}{AD=BD}\\{AE=CE}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow DE//BC\)
	如果一条直线截三角形 的两边(或者两边的延 长线)所得的对应线段 成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边。	\(\cfrac{AD}{DB}=\cfrac{AE}{EC}\)\(\Rightarrow DE//BC\)
	平行四边形的对边互相 平行	\(\square ABCD\Rightarrow\left\{\begin{array}{r}{AB//CD}\\{AD//BC}\end{array}\right.\)
	一条直线与一个平面平 行，如果过该直线的平 面与此平面相交，那么 该直线与交线平行。	\(\left.\begin{array}{r}{a//\alpha}\\{a\subsetneqq \beta}\\{\alpha\cap\beta=b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\)
	同时垂直于同一个平面 的两条直线平行	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\)
	两个平面同时和第三个 平面相交，则其交线 平行	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{\alpha\cap\gamma=a}\\{\beta\cap\gamma=b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\)
	如果两条直线都和第三 条直线平行，则这两条直 线平行 [平行关系在空间的传递性]	\(\left.\begin{array}{r}{a//c}\\{b//c}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//b\)

判定线面平行

图形语言	文字语言	符号语言
	如果平面外的一条直线和 平面内的一条直线平行， 则这条直线和这个平面平行	\(\left.\begin{array}{r}{a//b}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\not\subset\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//\alpha\)
	如果两个平面平行， 那么在一个平面内的 直线和另一个平面平行 [简称]： 面面平行，则线面平行	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{a\subsetneqq\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//\alpha\)
	如果两个平面外的一条 直线和互相垂直的平面 中的一个垂直，则它和 另一个平面平行	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha\perp\beta}\\{a\perp \beta}\\{a\not\subset\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a//\alpha\)

判定面面平行

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一个平面内的两条 相交直线分别和另一个 平面平行，那么这两个 平面平行，简称：线面 平行，则面面平行	\(\left.\begin{array}{r}{a\subsetneqq\alpha，b\subsetneqq\alpha}\\{a\cap b=O}\\{a//\beta，b//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha//\beta\)
	垂直于同一条直线的两 个平面平行	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a\perp\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha//\beta\)
	如果两个平面都和第三 个平面平行，那么这两 个平面平行	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{\gamma//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha//\gamma\)

判定线线垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么它和这个 平面的任意一条直线垂 直，简称：线面垂直， 则线线垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\subsetneqq\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp b\)

判定线面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线和 这个平面垂直，简称： 线线垂直，则线面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\subsetneqq\alpha，b\subsetneqq\alpha}\\{a\cap b=O}\\{l\perp a，l\perp b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow l\perp\alpha\)
	两个平面垂直，如果一 个平面内的直线和其交 线垂直，那么这条直线 和另一个平面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap\beta=l}\\{a\subsetneqq\alpha，a\perp l}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp\beta\)
	如果一条直线和两个[可 引申为一组]平行平面中 的一个垂直，则它和另 一个平面也垂直	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp \beta\)
	如果一个平面和两条[可 引申为一组]平行直线中 的一条垂直，则它和另 一条直线也垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a//b}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow b\perp \alpha\)

判定面面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么经过这条 直线的平面和这个平面 垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a\subsetneqq\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么与这条直 线平行的平面和这个平 面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)

【临考谨记】利用定理证明空间中线、面位置关系时，要注意结合几何体的结构特征，尤其是注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间中线、面位置关系的相互转化。

$\fbox{线线平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{线面平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{面面平行与垂直}$

典例剖析

【2023年高考理科数学乙卷版第19题】如图，在三棱锥 \(P-ABC\)中，\(AB\perp BC\)，\(AB=2\)，\(BC=2\sqrt{2}\)，\(PB=PC=\sqrt{6}\)，\(BP\)、\(AP\)、\(BC\) 的中点分别为 \(D\)、\(E\)、\(O\)， \(AD=\sqrt{5}DO\)， 点 \(F\) 在 \(AC\) 上，\(BF\perp AO\)。

(1). 证明： \(EF//\) 平面 \(ADO\)；

✍️思路一：由于点 \(A\)、\(F\)、\(C\)三点共线，故必然存在唯一的实数 \(t\) ，满足条件 \(\overrightarrow{BF}=(1-t)\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}\)，^[1]

又由于 \(BF\perp AO\)，故 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}=0\)，即 \(\overrightarrow{BF}\cdot(\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BA})=0\)，

也即 \(\left[(1-t)\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}\right]\cdot\left[\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right]=0\)，

由于 \(\angle ABC=90^{\circ}\)，则整理得到，\(-t\cdot\overrightarrow{BA}^2+\cfrac{1-t}{2}\cdot\overrightarrow{BC}^2=0\)，

即 \(-4t+4(1-t)=0\)，解得 \(t=\cfrac{1}{2}\)，

则 \(F\) 为 \(AC\) 的中点^[2]， 由 \(D\)，\(E\)，\(O\)，\(F\) 分别为 \(PB\)、 \(PA\)、 \(BC\)、 \(AC\) 的中点，

于是 \(DE//AB\)， \(DE=\cfrac{1}{2}AB\)， \(OF//AB\)， \(OF=\cfrac{1}{2}AB\)，

即 \(DE//OF\)，\(DE=OF\)， 则四边形 \(ODEF\) 为平行四边形，

\(EF//DO\)， \(EF=DO\)， 又 \(EF\not\subset\) 平面 \(ADO\)， \(DO\subset\) 平面 \(ADO\)，所以 \(EF//\) 平面 \(ADO\).

✍️思路二：注意到题目中有条件 \(BF\perp AO\)，则我们可以利用为 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}=0\)，故求解如下，

由勾股定理可知，\(AC=2\sqrt{3}\) 且 \(\cos\angle BAC=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，设 \(\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AC}\)，

由于 \(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(|\overrightarrow{AC}|\)\(\cos\angle\)\(BAC\)\(=\)\(4\)，

则 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}\)\(=\)\((\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\)\((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})\)

\(=\cfrac{\lambda}{2}|\overrightarrow{AC}|^2-\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2+(\cfrac{\lambda}{2}-\cfrac{1}{2})\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\lambda-4=0\)，

解得 \(\lambda=\cfrac{1}{2}\)， 则 \(F\) 为 \(AC\) 的中点，由 \(D\)，\(E\)，\(O\)，\(F\) 分别为 \(PB\)、 \(PA\)、 \(BC\)、 \(AC\) 的中点，

于是 \(DE//AB\)， \(DE=\cfrac{1}{2}AB\)， \(OF//AB\)， \(OF=\cfrac{1}{2}AB\)，

即 \(DE//OF\)，\(DE=OF\)， 则四边形 \(ODEF\) 为平行四边形，

\(EF//DO\)， \(EF=DO\)， 又 \(EF\not\subset\) 平面 \(ADO\)，\(DO\subset\) 平面 \(ADO\)，所以 \(EF//\) 平面 \(ADO\).

(2). 证明： 平面 \(ADO\perp\) 平面 \(BEF\)；

证明：由于 \(AO\)\(=\)\(\sqrt{AB^2+OB^2}\)\(=\)\(\sqrt{6}\)\(=\)\(PC\)\(=\)\(2OD\)， \(AD=\sqrt{5}DO\)，

则由 \(AD^2=AO^2+OD^2\)^[3]，故 \(AO\perp OD\)，则有 \(AO\perp EF\)，

由 \(AO\perp BF\)，\(BF\cap EF=F\)，\(BF,EF\subset\) 平面 \(BEF\)，

则 \(AO\perp\) 平面 \(BEF\)，又由于 \(AO\subset\) 平面 \(ADO\)，

故 平面 \(ADO\perp\) 平面 \(BEF\)；

(3). 求二面角 \(D-AO-C\) 的正弦值；

解：设二面角 \(D-AO-C\) 的平面角为 \(\theta\)，则由 \(AO\perp OD\)， \(AO\perp BF\)，则 \(\theta\) 为 \(\overrightarrow{OD}\) 与 \(\overrightarrow{BF}\) 的夹角，

又由于 \(|\overrightarrow{BF}|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{BF}|=\sqrt{3}\)， \(|\overrightarrow{OD}|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{PC}|=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\)，\(\cos\angle PCD=\cos\angle DOB=\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

则 \(\cos\theta=\cfrac{\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}=\cfrac{-\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}\)

\(=\cfrac{-\cfrac{3}{2}\times\sqrt{2}\times\cfrac{\sqrt{6}}{2}\times\cfrac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}\times\cfrac{\sqrt{6}}{2}}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即此平面角为钝角，

则 \(\sin\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即二面角 \(D-AO-C\) 的正弦值为 \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，

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1. 我们拿到这个题目，一般都会想到转化为通过证明线线平行来证明线面平行，但就是这个线线平行是此题目中的难点，你看着线线是平行的，但常规思路就是不能证明这一点；此题目此处主动应用三点共线的向量表示形式，非常巧妙，引入参数 \(t\)，目的是为了下一步求解 \(t=\cfrac{1}{2}\)，从而得到点 \(F\) 是 \(AC\) 的中点，这样就方便下一步说明线线平行； ↩︎

2. 当 \(t=\cfrac{1}{2}\) 时，由 \(\overrightarrow{BF}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)\(+\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)，由向量加法的平行四边形法则可以推导得到 \(F\) 为 \(AC\) 的中点 . ↩︎

3. 由数量的关系得到形式上的关系，也是非常常用的思路之一； ↩︎