恰成立命题

前情概要

恰成立这类命题是高三数学中不太常见的考查素材。已知函数的单调区间求参数的取值[或范围]的问题；已知函数的定义域[或值域]求参数的取值[或范围]的问题；已知不等式的解集求参数的取值[或范围]的问题，往往可以归结为恰成立问题；

恰成立命题

已知函数 \(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\) 的单调减区间为\([-1,2]\)，求 \(b\) ， \(c\) 的值.

分析：由于 \(f'(x)=3x^2+2bx+c\)，由于函数 \(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\) 的单调减区间为 \([-1,2]\) ，

则 \(f'(x)\leqslant 0\) 在区间 \([-1,2]\) 上恒成立，且\(f'(x)\leqslant 0\)的解集为\([-1,2]\)解集刚好是区间 \([1,2]\)，不能比它大，也不能比它小，刚刚合适，也就是恰好成立。，

则方程\(3x^2+2bx+c=0\)的两个根分别为\(x_1=-1\)，\(x_2=2\)，

由韦达定理可知，\(x_1+x_2=-1+2=-\cfrac{2b}{3}\)，\(x_1x_2=-1\times 2=\cfrac{c}{3}\)

解得，\(b=-\cfrac{3}{2}\)，\(c=-6\)；

【自编】若函数\(f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{3x^2}{2}+ax+4\)的单调递减区间是\([-1，4]\)或者为\((-1,4)\)或\((-1,4]\)或\([-1,4)\)，求实数\(a\)的值.

解析：由于函数\(f(x)\)的单调递减区间是\([-1，4]\)，\(f'(x)=x^2-3x+a\leqslant0\)的解集恰好应该是\([-1，4]\)，

则 \(-1\) 和 \(4\) 都是方程\(x^2-3x+a=0\)的根，故实数\(a=(-1)\times4=-4\).

【解后反思】：若题目已知，函数 \(f(x)\) 在区间 \([-1,4]\) 上单调递减，则由此不能得到 \(-1\) 和 \(4\) 都是方程 \(x^2-3x+a=0\) 的根。

【自编+对照题目】若函数\(f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{3x^2}{2}+ax+4\)在区间\([-1，4]\)上单调递减，求实数\(a\)的取值范围.

解析：由于函数\(f(x)\)在区间\([-1，4]\)上单调递减，则\(f'(x)=x^2-3x+a\leqslant 0\)在区间\([-1，4]\)上恒成立，即\(a\leqslant 3x-x^2\)在区间\([-1，4]\)上恒成立，

又在\(x\in[-1，4]\)上，\((3x-x^2)_{min}=-4\)，故\(a\leqslant -4\).

解后反思：函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上单调递减和在开区间\((a,b)\)上单调递减，求参数的取值范围时，一般是有区别的；

函数\(f(x)\)的单调递减区间是\([a,b]\)，一般转化为恰成立命题求解；函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递减(或增)，一般转化为恒成立命题求解；

典例剖析

已知函数\(f(x)=\sqrt{1+3^x+a\cdot 9^x}\)，其定义域为\((-\infty，1]\)，则a的取值是\(a=-\cfrac{4}{9}\)。

解析：由题目可知\(1+3^x+a\cdot 9^x\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty，1]\)，

即\((\cfrac{1}{9})^x+(\cfrac{1}{3})^x+a\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty，1]\)，

令\((\cfrac{1}{3})^x=t\)，则\(t\in[\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，

则\(g(\cfrac{1}{3})=0\)，所以\(9a+4=0，a=-\cfrac{4}{9}\)。

反思总结：本题有以下两种常用的变换，

其一令\(3^x=t\in(0，3]\)，变换得到\(h(t)=at^2+t+1\ge0\)的解集必须是\((0，3]\)；

其二令\((\cfrac{1}{3})^x=t\)，则\(t\in[\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，

变换二比变换一要好处理、好理解一些。 图像说明

已知函数 \(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3\)，则\(f(x)\leqslant 0\)在区间 \([-1，1]\) 上恰成立或第二种等价说法：不等式 \(x^2\)\(-\)\((a^2\)\(+\)\(a)x\)\(+\)\(a^3\)\(\leqslant 0\) 的解集是 \([-1，1]\)，求参数\(a\)的取值。

解析：\(f(x)=x^2-(a^2+a)x+a^3≤0\) 在区间 \([-1，1]\)上恰成立，则由三个二次的关系可知，则区间的端点值必然满足 \(f(-1)=0\)，\(f(1)=0\)，解得\(a=-1\).

⚠️注意：原题目对应的等价说法的第三种：就是 \(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 当且仅当 \(-1\)\(\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(1\) 。此时可以将其等价转化为 \(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 的解集为 \([-1，1]\)；或者等价转化为 \(f(x)\)\(\leqslant\) \(0\) 在区间 \([-1，1]\) 上恰成立；但是如果将其转化为 \(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 在区间 \([-1，1]\) 上恒成立，是不等价的，这样只会扩大不等式的解集范围，借助图象来理解，比如我们让这个开口向上的抛物线经过点 \((-2,0)\) 和 \((2,0)\)，则 \(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 的解集为 \([-2,2]\)，此时 \(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 在区间 \([-1，1]\) 上一定是恒成立的，并不是说解集为 \([-1，1]\)，已经人为的扩大了解集的范围，是不等价转化。即由 “\(f(x)\)\(\leqslant\) \(0\) 在区间 \([-1，1]\) 上恒成立” 转化为 “\(f(x)\)\(\leqslant\)\(0\) 当且仅当 \(-1\)\(\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(1\) ”是不等价的.

【2018福建四地六校联考】已知函数\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\)的值域为\((-\infty，0]\cup[4，+\infty)\)，求\(a\)的值。

分析：本题目属于恰成立命题，

当\(x>0\)时，\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\ge 2\sqrt{a}+2=4\)，解得\(a=1\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号；

当\(x<0\)时，\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\leq -2\sqrt{a}+2=0\)，解得\(a=1\)，当且仅当\(x=-1\)时取到等号；

综上可知，\(a=1\)。

[恰成立命题]函数\(f(x)=x^3-ax-1\)，若函数\(f(x)\)的单调递减区间是\((-1，1)\)，求\(a\)的值。

分析：由第一问可知函数在\((-\cfrac{\sqrt{3a}}{3}，\cfrac{\sqrt{3a}}{3})\)上单调递减，

现已知单调递减区间是\((-1，1)\)，故这两个区间相等，

即\(\cfrac{\sqrt{3a}}{3}=1\)，解得\(a=3\)；