偶函数性质的推广

前言

如果函数 \(f(x)\) 为偶函数，则其对称轴为直线 \(x=0\) ，且必满足 \(f(-x)=f(x)\)，即 \(f(x)\)\(=\)\(f(-x)\)\(=\)\(f(|x|)\)\(=\)\(f(|x-0|)\)；其实在涉及偶函数[对称轴为直线 \(x=0\)的轴对称函数]的考查中，用到最多见的变形是使用\(f(x)\)\(=\)\(f(|x|)\)，那么有些对称轴不是 \(x=0\) 的对称轴函数，又会涉及怎样的变形呢？

应用举例

已知函数\(y=f(x)=e^x+e^{-x}\)，求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。

法1：[分类讨论，很繁琐的思路]

先判断函数的定义域为\(R\)，且为偶函数；

又由于\(x>0\)时，\(e^x>1\)且\(0<\cfrac{1}{e^x}<1\)，则\(f'(x)=e^x-\cfrac{1}{e^x}>0\)，

则可知在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增。

若针对两个自变量\(x\)和\(2-x\)分类讨论，则得到以下四种情形：

Ⅰ.$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\ge 0}\\{x>2-x}\end{array}\right.\quad$ 或 $\quad$Ⅱ.$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\leq 0}\\{x<2-x}\end{array}\right.$

Ⅲ.\(\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\leq 0}\\{-x<2-x}\end{array}\right.\quad\) 或 \(\quad\)Ⅳ.\(\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\ge 0}\\{-x>2-x}\end{array}\right.\)

解Ⅰ得到，\(1<x\leq 2\)；解Ⅱ得到，\(x\in \varnothing\)；

解Ⅲ得到，\(x\ge 2\)；解Ⅳ得到，\(x\in \varnothing\)；

求并集得到\(x\)的取值范围为\(x>1\)，即\(x\in (1，+\infty)\)。

法2：[利用偶函数的性质，简洁明快]

先判断函数的定义域为\(R\)，在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增，且为偶函数；

故由\(f(x)>f(2-x)\)变形得到，\(f(|x|)>f(|2-x|)\)对于偶函数而言，\(f(x)\)\(=\)\(f(-x)\)\(=\)\(f(|x|)\)\(=\)\(f(|x-0|)\)，故由\(f(x)\)\(>\)\(f(2-x)\)得到，即\(f(|x|)\)\(>\)\(f(|2-x|)\)，也即\(f(|x-0|)\)\(>\)\(f(|2-x-0|)\)， \(\quad\)，

又由于\(|x|\)和\(|2-x|\)都位于区间\([0,+\infty)\)上，且已知函数\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递增，

故得到\(|x|>|2-x|\)，则\(x^2>(2-x)^2\)，解得\(x>1\)。即\(x\in (1，+\infty)\)。

总结推广

若函数\(f(x)\)为偶函数，对称轴为直线\(x=0\)；其满足\(f(x)=f(-x)=f(|x|)\)；如果求解\(f(x_1)>f(x_2)\)，往往首先转化为\(f(|x_1-0|)>f(|x_2-0|)\)，其中\(|x_1-0|\)和\(|x_2-0|\)的意义分别表示自变量\(x_1\)和\(x_2\)到对称轴\(x=0\)的距离，然后利用单调性去掉符号法则\(f\)求解即可；

引申，若函数\(g(x)\)非偶函数，又对称轴为直线\(x=2\)；如果求解\(g(x_1)>g(x_2)\)，则利用单调性可以得到\(|x_1-2|\)\(>\)\(|x_2-2|\)【由于不知单调性，则也可能是 \(|x_1-2|\)\(<\)\(|x_2-2|\) 】，其中 \(|x_1-2|\) 和 \(|x_2-2|\) 的意义分别表示自变量\(x_1\) 和 \(x_2\) 到对称轴 \(x=2\) 的距离，再两边平方求解即可；

二者统一

若函数\(f(x)\)为偶函数，则对称轴为直线\(x=0\)，在\([0,+\infty)\)上单调递增；如果求解\(f(x_1)>f(x_2)\)，则得到\(|x_1-0|\)\(>\)\(|x_2-0|\)；

若函数\(g(x)\)非偶函数，且对称轴为直线\(x=2\)，在\([2,+\infty)\)上单调递增；如果求解\(g(x_1)>g(x_2)\)，则得到\(|x_1-2|\)\(>\)\(|x_2-2|\)；

我们合二为一，得到：

若函数 \(f(x)\) 为类偶函数[不妨将二者统称为类偶函数]，且对称轴为直线 \(x=x_0\)，在 \([x_0,+\infty)\) 上单调递增；如果求解 \(f(x_1)\)\(>\)\(f(x_2)\)，则得到\(|x_1-x_0|\)\(>\)\(|x_2-x_0|\)；

典例剖析

已知函数\(f(x+2)\)是定义域为\(R\)的偶函数，\(f(x)\)在\((2, +\infty)\)上单调递减，则不等式\(f(\ln x)-f(1)<0\)的解集是 【\(\quad\)】

$A.(0,1)\cup (3,+\infty)$ $B.(1,3)$ $C.(0,e)\cup (e^3,+\infty)$ $D.(e,e^3)$

法1：利用示意图图像求解；

由于\(f(x+2)\) 的图象关于\(y\) 轴对称，故 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=2\) 对称，

则有\(f(1)=f(3)\)，由\(f(\ln x)-f(1)<0\)得到，\(f(\ln x)<f(1)\)，

又由于\(f(x)\) 在 \((2,+\infty)\) 上单调递减，可得 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 2)\) 上单调递增，

故得到即\(\ln x<1=\ln e\)或\(\ln x>3=\ln e^3\)，

解得 \(0<x<e\) 或 \(x>e^{3}\)，故选：\(C\).

法2：类比偶函数的性质求解；

\(f(x+2)\) 的图象关于 \(y\) 轴对称，故\(f(x)\)的图象关于直线 \(x=2\) 对称，

且\(f(x)\)在在\((-\infty, 2)\)上单调递增，\((2,+\infty)\)上单调递减，

由\(f(\ln x)-f(1)<0\)先变形为 \(f(\ln x)<f(1)\)，

则结合绝对值的定义，得到\(|\ln x-2|>|1-2|=1\)故自变量的值\(x\)距离对称轴\(x=2\)越远，则函数值\(f(x)\)越小；由\(f(\ln x)\)\(<\)\(f(1)\)，则得到\(|\ln x-2|\)\(>\)\(|1-2|\)

即\(|\ln x-2|>1\)

所以\(\ln x-2>1\) 或\(\ln x-2<-1\)，即\(\ln x<1=\ln e\)或\(\ln x>3=\ln e^3\)，

解得 \(0<x<e\) 或 \(x>e^{3}\)，故选：\(C\).

【2019 秋·武昌区校级期中】已知定义在 \(R\) 上的函数 \(f(x)\), \(g(x)\), 其中函数 \(f(x)\) 满足 \(f(-x)=f(x)\) 且在 \([0,+\infty)\) 上单调递減， 函数 \(g(x)\) 满足 \(g(1-x)=g(1+x)\) 且在 \((1,+\infty)\) 上单调递减， 设函数 \(F(x)\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)\([f(x)\)\(+\)\(g(x)\)\(+\)\(|f(x)-g(x)|\)\(]\)， 则对任意 \(x \in R\)， 均有【\(\qquad\)】

$A$. $F(1-x) \geq F(1+x)$

$B.$$F(1-x) \leq F(1+x)$

$C.$$F\left(1-x^{2}\right) \geq F\left(1+x^{2}\right)$

$D.$ $F\left(1-x^{2}\right) \leq F\left(1+x^{2}\right)$

解：根据题意， 函数 \(f(x)\) 满足 \(f(-x)=f(x)\)， 则 \(f(x)\) 为偶函数，

又由 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上单调递减， 且 \(\left|1-x^{2}\right|\leq\left|1+x^{2}\right|\)，

则 \(f\left(1-x^{2}\right)\geq f\left(1+x^{2}\right)\)由于函数\(f(x)\)是偶函数，则\(f(x)\)\(=\)\(f(-x)\)\(=\)\(f(|x|)\)，由题目可知，\(f(|1-x^2|)\)\(\geq\)\(f(|1+x^2|)\)，可得\(f(1-x^2)\)\(\geq\)\(f(1+x^2)\)，此处是逆向思维，由\(|x_1|\)\(\leqslant\)\(|x_2|\)得到\(f(x_1)\)\(\geqslant\)\(f(x_2)\)，平时我们经常用\(f(x_1)\)\(\geqslant\)\(f(x_2)\)得到\(|x_1|\)\(\leqslant\)\(|x_2|\)；

函数 \(g(x)\) 满足 \(g(1-x)=g(1+x)\)， 即 \(g(x)\) 关于直线 \(x=1\) 对称，

则 \(g\left(1-x^{2}\right)=g\left(1+x^{2}\right)\) ；

又由 \(F(x)=\cfrac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=\left\{\begin{array}{l}f(x), f(x) \geq g(x) \\ g(x), f(x)<g(x)\end{array},\right.\)

则 \(F(x)\) 示意图可表示为图中实线部分，

故将以上两个结果\(f\left(1-x^{2}\right)\geq f\left(1+x^{2}\right)\) 和 \(g\left(1-x^{2}\right)=g\left(1+x^{2}\right)\) 合二为一，

可得到 \(F\left(1-x^{2}\right) \geq F\left(1+x^{2}\right)\) . 故选： \(C\).

已知函数 \(f(x)=(\cfrac{1}{2})^{|x-a|}\) 关于 \(x=1\) 对称， 则 \(f(2x-2)\geqslant f(0)\) 的解集为_________ .

解法1： 利用数形结合法求解， 由于函数 \(f(x)=(\cfrac{1}{2})^{|x-a|}\) 关于 \(x=1\) 对称那么如何做函数的图像呢，要是想不清楚，就先做减法，将 参数 \(a\) 去掉，考虑 \(y\)\(=\)\((\cfrac{1}{2})^{|x|}\) 的图像的做法，然后再考虑加法，将其左右平移就能得到 \(f(x)\)\(=\)\((\cfrac{1}{2})^{|x-a|}\) 的图像，则 \(a=1\)，

故 \(f(x)=(\cfrac{1}{2})^{|x-1|}\in(0,1]\)，做出函数的图像，

则由 \(f(2x-2)\geqslant f(0)=\cfrac{1}{2}\)， 结合图象可得 \(0\leqslant 2x-2\leqslant 2\)，

求得 \(1\leqslant x\leqslant 2\)。

解法2：利用函数的对称性求解；函数 \(f(x)=(\cfrac{1}{2})^{|x-a|}\) 关于 \(x=1\) 对称，则 \(a=1\)，

故函数在 \((-\infty,1]\) 上单调递增，在 \([1,\infty)\) 上单调递减，

又由于求解 \(f(2x-2)\geqslant f(0)\) ，则\(|(2x-2)-1|\leqslant |0-1|\)由于函数在对称轴\(x=1\)的左侧单调递增，在对称轴的右侧单调递减，故自变量距离对称轴越近，函数值越大，故得到 \(|(2x-2)-1|\)\(\leqslant\)\(|0-1|\)，

解之得到，\(-1\leqslant 2x-3\leqslant 1\)，即 \(1\leqslant x\leqslant 2\)。