两条直线的位置关系

前言

首先需要明白，高中数学刻画直线的形式比较多，分别称为直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式[它们各有各的优劣性]，还有参数方程等等；

① 点斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1，y_1)\)，斜率为\(k\))；

• 缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

② 斜截式：\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)截距)；

• 缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

③ 两点式：\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2，y_1\neq y_2)\)(两点是\(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)\))，

• 缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；

④ 截距式：\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0，b\neq 0)\)(\(a,b\)分别是横截距和纵截距)，

• 缺陷：不能表示过原点的直线；

⑤ 一般式：\(Ax+By+C=0\)，

• 没有上述直线方程的缺陷。

同时需要注意，当我们将一般式\(Ax+By+C=0\)，改写为\(y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\)时，其实已经压缩了一般式的内涵，也就是已经认定 \(B\neq0\) 了。

直线的一般式中，包含有两种情形：

当\(B=0\)时，直线变化为\(x=-\cfrac{C}{A}\)，此时直线倾斜角为\(\cfrac{\pi}{2}\)，没有斜率；

当\(B\neq 0\)时，直线变化为\(y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\)时，此时直线的斜率为\(k=-\cfrac{A}{B}\)；

平行关系

应该分直线的不同表达形式来描述直线的平行关系的充要条件；

(Ⅰ).给定直线的斜截式方程：\(l_1:\) \(y=k_1x+b_1\)；\(l_2:\) \(y=k_2x+b_2\)；

则\(l_1//l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(k_1=k_2\)且\(b_1\neq b_2\)，警示这种情形只适用直线有斜率的情形，不适用没有斜率的情形

说明:当\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)时，我们很容易理解两条直线重合；

(Ⅱ).给定直线的一般式方程：\(l_1:\) \(A_1x+B_1y+C_1=0\)；\(l_2:\) \(A_2x+B_2y+C_2=0\)；

则\(l_1//l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(A_1B_2-A_2B_1=0\)且\(C_1B_2-C_2B_1\neq0\)

说明：当\(\cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{B_1}{B_2}=\cfrac{C_1}{C_2}\)时，两条直线重合；

那么当\(\cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{B_1}{B_2}\neq \cfrac{C_1}{C_2}\)时，两条直线平行；

不过上述这种分式形式由于\(A\neq 0\)且\(B\neq 0\)，故其没有包含两条直线中的一条没有斜率的情形，

若将分式形式改写为整式形式，就能包括上述漏掉的情形，故\(A_1B_2-A_2B_1=0\)且\(C_1B_2-C_2B_1\neq0\)

[此式对于斜率不存在或等于\(0\)也成立]

垂直关系

应该分直线的不同表达形式来描述直线的垂直关系的充要条件；

(Ⅰ).给定直线的斜截式方程：\(l_1:\) \(y=k_1x+b_1\)；\(l_2:\) \(y=k_2x+b_2\)；

则\(l_1\perp l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(k_1\cdot k_2=-1\)，说明这种情形只适用直线有斜率的情形，不适用没有斜率的情形

(Ⅱ).给定直线的一般式方程：\(l_1:\) \(A_1x+B_1y+C_1=0\)；\(l_2:\) \(A_2x+B_2y+C_2=0\)；

则\(l_1\perp l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(A_1A_2+B_1B_2=0\)；[此式对于斜率不存在或等于\(0\)也成立]

说明：仿上述变形，将分式形式的斜率之积等于\(-1\)改写为整式形式的，自然就能包含斜率不存在或等于\(0\)的情形。

即\(-\cfrac{A_1}{B_1}\times (-\cfrac{A_2}{B_2})=-1\)，即\(\cfrac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1\)，

改写为整式形式，即\(A_1A_2+B_1B_2=0\)；

引申： 当给定 \(A(x_1,y_1)\) 和 \(B(x_2,y_2)\)，求解或证明 \(OA\perp OB\)时，若用 \(k_{_{OA}}\cdot k_{_{OB}}=1\)，需要分类 \(k\)存在或者 \(k\) 不存在两种情形讨论，但若是采用向量形式： \(x_1x_2\)\(+\)\(y_1y_2\)\(=0\) 刻画相互垂直，就可以避免分类讨论；

典例剖析

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第3题】若直线\(x+(1+m)y-2=0\)与直线\(mx+2y+4=0\)平行，则\(m\)的值为【】

$A.1$ $B.-2$ $C.1或-2$ $D.-\cfrac{3}{2}$

分析：由题可知，\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①，具体求解时我们往往只利用下式求值，

由\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②，解得\(m=1\)或\(m=-2\)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，

验证得到\(m=-2\)时不符，故\(m=1\)，则选\(A\)。

反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。

【2021高三文科逻辑用语课时作业】给出下列结论:

①若命题\(p:\exists x_{0}\in R\)，\(\tan x_{0}=1\)；命题\(q:\forall x \in R\)，\(x^{2}-x+1>0\)；则命题“\(p \wedge(\neg q)”\)是假命题；

②已知直线\(l_{1}:ax+3y-1=0\)，\(l_{2}:x+by+1=0\)，则\(l_{1}\perp l_{2}\)的充要条件是\(\cfrac{a}{b}=-3\)；

③命题“若\(x^{2}-3x+2=0\)，则 \(x=1\)"的逆否命题是“若\(x\neq 1\)，则\(x^{2}-3x+2\neq 0\)；

其中正确结论的序号为___________.

解析: ①中命题\(p\)为真命题，命题\(q\)为真命题，所以\(p\wedge(\neg q)\)为假命题， 故①正确；

②中当\(b=a=0\)时，有\(l_{1}\perp l_{2}\)，故②不正确；

③显然正确；所以正确结论的序号为①③；

说明：其实②中，\(l_{1}\perp l_{2}\)的充要条件是\(a+3b=0\)；

【2021届高三数学训练题】“\(m=3\)”是“直线\(l_1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0\)与直线\(l_2：(m-3)x+2y-5=0\)垂直”的【\(\quad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

解：由\(l_1\perp l_2\)，得到\(2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0\)，解得，\(m=3\)或\(m=-2\)，

所以\(m=3\)是\(l_1\perp l_2\)的充分不必要条件，故选\(A\).

【2021届高三数学训练题】设不同直线\(l_1：2x-my-1=0\)与直线\(l_2：(m-1)x-y+1=0\)，则“\(m=2\)”是“\(l_1//l_2\)”的【\(\quad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：当\(m=2\)时，代入两个直线方程，容易知道两直线平行，即充分性成立；

当\(l_1//l_2\)，显然\(m\neq 0\)，否则不会有\(l_1//l_2\)，

从而有\(2\times(-1)-(-m)(m-1)=0\)，即\(m^2-m-2=0\)，解得\(m=2\)或\(m=-1\)，

但是当\(m=-1\)时，两条直线重合，故舍去，即必要性成立，故选\(C\).