数的分类与式的分类

实数分类

• 实数按定义分类：

\[实数R\left\{\begin{array}{l}{有理数Q\left\{\begin{array}{l}{整数Z\left\{\begin{array}{l}{正整数N_+}\\{零}\\{负整数N_-}\end{array}\right\}正整数\&零\Rightarrow 自然数N}\\{分数\left\{\begin{array}{l}{正分数}\\{负分数}\end{array}\right\}有限小数或无限循环小数\Rightarrow 小数}\end{array}\right.}\\{无理数\complement_{R}{Q}\Leftrightarrow 无限不循环小数\Rightarrow 小数}\end{array}\right. \]

• 实数按大小分类：

\[实数\left\{\begin{array}{l}{正实数\left\{\begin{array}{l}{正有理数\left\{\begin{array}{l}{正整数}\\{正分数}\end{array}\right.}\\{正无理数}\end{array}\right.}\\{零}\\{负实数\left\{\begin{array}{l}{负有理数\left\{\begin{array}{l}{负整数}\\{负分数}\end{array}\right.}\\{负无理数}\end{array}\right.}\end{array}\right. \]

复数分类

\(复数C：z=a+bi(a,b\in R)\left\{\begin{array}{l}{实数R:b=0}\\{虚数:b\neq 0\left\{\begin{array}{l}{纯虚数:a=0}\\{混虚数:a\neq 0}\end{array}\right.}\end{array}\right.\)

代数式分类

\[\textbf{代数式}\left\{\begin{array}{l}{有理式\left\{\begin{array}{l}{整式\left\{\begin{array}{l}{单项式:如2a,3x^4}\\{多项式:如3x+2y^2-\cfrac{3}{2}xz}\end{array}\right.}\\{分式:如\cfrac{2y+3}{2x-1}}\end{array}\right.}\\{无理式\left\{\begin{array}{l}{根式:如\sqrt{2x-1},\sqrt[3]{2x-1}},(x-1)^{\frac{3}{2}}\\{超越式:如2^x,2^{x+1},log_2x}\end{array}\right.}\end{array}\right. \]

典例探究

将无限循环小数 \(0.\dot{3}\dot{6}\) 化为分数。

【思路1】：利用整体思想代换处理。

\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100=36.\dot{3}\dot{6}\)，上式两边同时减去\(0.\dot{3}\dot{6}\)，

得到\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100 -0.\dot{3}\dot{6} =36.\dot{3}\dot{6} - 0.\dot{3}\dot{6}\)，

即\(99\times 0.\dot{3}\dot{6}=36\)，故\(0.\dot{3}\dot{6}=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)。

故由此引申得到： 无限循环小数都可以转化为分数 ，这是个真命题 。

【思路2】：利用无穷递缩等比数列的前\(n\)项和公式来计算。

复习回顾：等比数列的前 \(n\) 项和公式 \(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，若数列为无穷递缩等比数列，则有 \(|q|<1\)，那么有 \(\lim\limits_{n=1}^{+\infty}q^n\)\(=\)\(0\)，这样无穷递缩等比数列的前 \(n\) 项和公式就变形为 \(S_n=\cfrac{a_1}{1-q}\) .

\(0.\dot{3}\dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+\cdots\)

\(=\)\(36(0.01+0.0001+0.000001+\cdots)\)

\(=36\times\cfrac{0.01(1-0.01^{+\infty})}{1-0.01}\)

\(\xlongequal[极限]{使用}36\times \cfrac{0.01}{0.99}=36\times \cfrac{1}{99}\)

\(=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)

• 相关知识点：有理数是一个整数 \(a\) 和一个正整数 \(b\) 的比，例如 \(\cfrac{3}{8}\)，通用形式为 \(\cfrac{b}{a}\)。\(0\) 也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为 \(1\) 的分数。有理数的小数部分是有限或无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。分数都可以化为有限小数或无限循环小数。而无限不循环小数不能化为分数，它是无理数范畴。

既约分数 即最简分数。最简分数，是分子、分母只有公因数 \(1\) 的分数，或者说分子和分母互质的分数，又称既约分数。如：\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{2}{3}\)，\(\cfrac{8}{9}\)，等等。