探究|平面向量探究题

前言

典例剖析

【2020北京人大附中高一试题】设\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)是互相垂直的两个单位向量，问当\(k\)为何整数时，向量\(\vec{m}=k\vec{a}+\vec{b}\)与向量\(\vec{n}=\vec{a}+k\vec{b}\)的夹角能否等于\(60^{\circ}\)，证明你的结论。

分析：不论\(k\)为何整数，向量\(\vec{m}=k\vec{a}+\vec{b}\)与向量\(\vec{n}=\vec{a}+k\vec{b}\)的夹角都不能等于\(60^{\circ}\)，理由如下：

证明：设\(<\vec{m},\vec{n}>=\theta\)，假设存在\(k\in \ Z\)，使得\(\theta=60^{\circ}\)，即使得\(\cos\theta=\cfrac{1}{2}\)，

由题目可知，\(\vec{a}\cdot \vec{b}=0\)，\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)，

可以令\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1)\)，[采用特殊化策略]

则\(\vec{m}=k\vec{a}+\vec{b}=k(1,0)+(0,1)=(k,1)\)

\(\vec{n}=\vec{a}+k\vec{b}=(1,0)+k(0,1)=(1,k)\)

则\(\cos\theta=\cfrac{k\times 1+1\times k}{\sqrt{k^2+1}\sqrt{1+k^2}}=\cfrac{2k}{k^2+1}=\cfrac{1}{2}\)

所以\(k^2-4k+1=0\)，即\((k-2)^2=3\)，故\(k=2\pm\sqrt{3}\)，

由于\(k\not\in \ Z\)，故假设错误，

即不论\(k\)为何整数，向量\(\vec{m}=k\vec{a}+\vec{b}\)与向量\(\vec{n}=\vec{a}+k\vec{b}\)的夹角都不能等于\(60^{\circ}\)，