函数图像上存在对称点

前言

若题目给定函数图像上存在对称点，她的求解一般不是那么能直接求解，往往首先考查我们的数学素养，即将题目进行转化的能力，思考时的角度可以从[数]和[形]两个角度来进行。那么具体该如何转化呢，请各位结合下面的题目自行体会和揣摩，耐心等待顿悟时刻的到来。

数学素养

从数的角度来说，

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(f(x)=-g(x)\)有解；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则\(f(-x)=g(x)\)有解；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点，则\(f(x)=-g(-x)\)有解；

转化为方程有解类问题后，又或可转化为能成立类的问题，接下来往往就是分离参数，求另一端新函数的值域或者最值；

从形的角度来说，

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(x)\)的图像有交点；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则函数\(y=f(-x)\)与函数\(y=g(x)\)的图像有交点；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点，则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(-x)\)的图像有交点；

这样接下来，常常是做函数的图像，从形上入手分析，有几个交点的问题，此时需要分清楚静态函数和动态函数，尤其是找准动态函数的图像的控制要素；

分类解析

• 两个函数图像上存在关于\(x\)轴的对称点类问题，涉及两个函数；

【2017•蚌埠模拟】已知函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(a\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty，e)$ $B.(-\infty，e]$ $C.(-\infty，\cfrac{1}{e})$ $D.(-\infty，\cfrac{1}{e}]$

法1分析：函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于x轴的对称点，

即当\(x=x_0\)时，\(f(x_0)=-g(x_0)\)。

所以方程\(f(x)=-g(x)\)有解， 所以\(lnx-x^3=-x^3+ax\)有解，

所以\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，

令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，由导数知识可知，\(f(x)\)在\((0，e)\)上单调递增，在\((e，+\infty)\)上单调递减，

又\(f(e)=\cfrac{1}{e}\)，故函数\(h(x)\in (-\infty，\cfrac{1}{e}]\)，故\(a\)的取值范围为\((-\infty，\cfrac{1}{e}]\) ，选\(D\)。

法2：转换为方程\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点，利用数形结合求解；

法3：接上转换为方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)和函数\(y=a\)的图像有交点，利用数形结合求解；

• 两个函数图像上存在关于\(y\)轴的对称点类问题，涉及两个函数；

【2018陕西省高三第二次质检第12题】已知函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，则\(a\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty，\cfrac{1}{e})$ $B.(-\infty，e)$ $C.(-\cfrac{1}{e}，e)$ $D.(-e，\cfrac{1}{e}]$

分析：函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，

即\(f(-x_0)=g(x_0)\)能成立。即方程\(f(-x)=g(x)\)有解，

所以当\(x>0\)时，\(e^{-x}+2=ln(x+a)+2\)有解，

即方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)时有解，即函数\(y=e^x\)与函数\(y=ln(x+a)\)图像有交点，

法1：数形结合法，如右图所示可知，当函数\(y=ln(x+a)\)过点\((1，0)\)时，没有交点，

此时由\(ln(0+a)=1\)可得，\(a=e\)；

又由图像平移可知，需要将函数\(y=ln(x+a)\)向右移动才会有交点，

故\(a<e\)，即\(a\)的取值范围是\((-\infty，e)\)，选\(B\).

法2：补集思想+计算法，由图可知，当函数\(y=ln(x+a)\)经过点\((0，1)\)上方时，必无交点，

即\(lna\ge 1\)时，即\(a\ge e\)时，二者无交点，由补集思想可得，二者有交点时\(a<e\)，

即\(a\)的取值范围是\((-\infty，e)\)，选\(B\).

解后反思：在网上见到有人这样解，\(lna<1\)，解得\(0<a<e\)，这是错的(很显然，\(a=0\)是满足的)，原因是当\(a<0\)时，\(lna\)是没有意义的，但是此时函数\(y=ln(x+a)\)的图像已经和\(y\)轴没有交点了，已经向右移动了，其渐近线也是向右移动的。

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=x^2+e^x-\cfrac{1}{2}(x<0)\)与函数\(g(x)=x^2+\ln(x+a)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则\(a\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，\sqrt{e})$ $B.(-\sqrt{e}，\cfrac{\sqrt{e}}{e})$ $C.(-\infty，\cfrac{\sqrt{e}}{e})$ $D.(-\cfrac{\sqrt{e}}{e}，\sqrt{e})$

提示：答案为\(A\)，请仿上例完成。

• 两个函数图像上存在关于原点的对称点类问题，涉及两个函数；

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=lnx-x^2\)与函数\(g(x)=x^2-\cfrac{2}{x}-m\)的图像上存在关于原点的对称点，则\(m\)的取值范围为________.

分析：由题可知，方程\(f(x)=-g(-x)\)在\(x>0\)上有解，即\(lnx-x^2=-x^2-\cfrac{2}{x}+m\)在\(x>0\)上有解，

则\(m=lnx+\cfrac{2}{x}\)在\(x>0\)上有解，设\(h(x)=lnx+\cfrac{2}{x}(x>0)\)，

则\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{x-2}{x^2}\)，

故\(h(x)\)在区间\((0，2)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，

则\(h(x)_{min}=h(2)=ln2+1\)

即函数\(h(x)\)的值域是\([ln2+1，+\infty)\)

故\(m\)的取值范围为是\([ln2+1，+\infty)\)。

• 一个分段函数图像上存在关于原点的对称点类问题，涉及一个函数；

【学生训练题目】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\cos\cfrac{\pi}{2}x-1，x\geqslant 0}\\{-log_a(-x)，x<0}\end{array}\right.(a>0，a\neq 1)\)，若函数图像上关于原点对称的点至少有\(3\)对，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(0，\cfrac{\sqrt{6}}{6})$ $B.(\cfrac{\sqrt{6}}{6}，1)$ $C.(0，\cfrac{\sqrt{5}}{5})$ $D.(\cfrac{\sqrt{5}}{5}，1)$

分析：对题意的解析，即需要第二段函数关于原点的对称函数的图像，和第一段函数的图像的交点有\(3\)个以上；

首先，动手做出第一段函数的图像，\(y=\cos\cfrac{\pi}{2}x-1，x\geqslant 0\)，如图中红色部分；

然后初步判断，若第二段函数\(y=-log_a(-x),x<0\)的底数\(a>1\)时，其关于原点的对称函数\(y=log_ax\)，\(x>0\)和第一段函数的图像不会有两个以上的交点，故排除\(a>1\)；

接下来重点考虑\(0<a<1\)的情形，当\(0<a<1\)时，第二段函数关于原点的对称函数\(y=log_ax\)，\(x>0\)会随着\(a\)的变化和第一段函数图像有更多的交点，关键是找到控制点；

通过动态的演示，我们知道，应该让点\(B\)在点\(A\)的上方，从数的角度刻画，应该需要其满足\(log_a6>-2\)，

故需要同时满足条件，\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{log_a6>-2}\end{array}\right.\)，^[1]

解得\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{0<a<\cfrac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\right.\)，故选\(A\)；

解后反思：①若题目要求变化为“若函数图像上关于原点对称的点仅有\(3\)对”，则此时需要在原来的基础上添加条件，\(log_a{10}<-2\)，这样共需要满足条件：

\(\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{log_a6>-2}\\{log_a{10}<-2}\end{array}\right.\)，解得\(a\in (\cfrac{\sqrt{10}}{10},\cfrac{\sqrt{6}}{6})\);

相关链接

1.函数图像的变换

2.分离参数法

对应练习

【2022届高三数学三轮模拟冲刺题目】已知函数 \(f(x)=a-x^2\) (\(\cfrac{1}{e}\leqslant x\leqslant e\)) 与 \(g(x)=2\ln x\) 的图像上存在关于 \(x\) 轴对称的点，则实数 \(a\) 的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[1,\cfrac{1}{e^2}+2]$ $B.[1,e^2-2]$ $C.[\cfrac{1}{e^2}+2,e^2]$ $D.[2e^2-2,+\infty)$

解析：由题可知，方程 \(a-x^2=-2\ln x\) 在 \([\cfrac{1}{e},e]\) 上有解，

即 \(-a=2\ln x -x^2\) 在 \([\cfrac{1}{e},e]\) 上有解，转化为重点求 \(2\ln x-x^2\) 在 \([\cfrac{1}{e},e]\) 上的值域问题了。

令 \(h(x)=2\ln x-x^2\) ，则 \(h'(x)=\cfrac{2(1-x)(1+x)}{x}\)，

故 \(x\in (\cfrac{1}{e},1)\) 时，\(h'(x)>0\)， \(h(x)\) 单调递增， \(x\in (1,e)\) 时，\(h'(x)<0\)， \(h(x)\) 单调递减，

则 \(h(1)=-1\)，\(h(\cfrac{1}{e})=-2-\cfrac{1}{e^2}\)，\(h(e)=2-e^2\)，

故 \(2-e^2\leqslant -a\leqslant -1\) ，解得 \(1\leqslant a\leqslant e^2-2\) ，故选 \(B\) .

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1. \(log_a6>-2=log_aa^{-2}\)，即\(a^{-2}>6\)，即\(6a^2<1\)，即\(a^2<\cfrac{1}{6}\)，即\(0<a<\cfrac{\sqrt{6}}{6}\)； ↩︎