不等式性质

前情概要

不等式的性质，在初次学习时，让我们感觉看似不起眼，但是她是不等式的最基础的东西，所有不等式的错误几乎都能从不等式的性质中找到源头 .

实数大小

任给两个实数，则其大小关系只能是以下三种中的某一种。

①\(a>b\Leftrightarrow a-b>0\);

②\(a=b\Leftrightarrow a-b=0\);

③\(a<b\Leftrightarrow a-b<0\);

以上也是作差法的理论依据。由此我们得到比较任意两个实数大小的基本方法-----作差法。

• 作差法：\(\left\{\begin{array}{l}{a-b>0 \Leftrightarrow a>b}\\{a-b=0 \Leftrightarrow a=b}\\{a-b<0 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R)\)

注意：作差法对作差的两个实数没有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

• 作商法：\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{a}{b}>1 \Leftrightarrow a>b}\\{\cfrac{a}{b}=1 \Leftrightarrow a=b}\\{\cfrac{a}{b}<1 \Leftrightarrow a<b}\end{array}\right.(a,b\in R；b>0)\)

注意：作商法对作商的两个实数有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

性质列举

①对称性：\(a>b\Leftrightarrow b<a\)；

②传递性：\(a>b，b>c\Rightarrow a>c\)；

③同加性：\(a>b\Leftrightarrow a+c>b+c\)；

④同乘性：\(a>b\)，\(c>0\) \(\Rightarrow\) \(ac>bc\)；\(a>b\)，\(c<0\) \(\Rightarrow\) \(ac<bc\)；

⑤同向可加性：\(a>b\)，\(c>d\) \(\Rightarrow\) \(a+c>b+d\;\)这是个单向箭头，即前者是后者的充分不必要条件，我们有时候会将其错误理解为充要条件从而出错。比如我们用具体数字举例说明， \(\left\{\begin{array}{l}{1\leqslant a\leqslant 2}\\{3\leqslant b\leqslant 4}\end{array}\right.\) 可以得到 \(4\leqslant a+b\leqslant 6\) ，但是由 \(4\leqslant a+b\leqslant 6\) 并不能得到 \(1\leqslant a\leqslant 2\) ，\(3\leqslant b\leqslant 4\)，也许是 \(0\leqslant a\leqslant 1\) ，\(4\leqslant b\leqslant 5\)，或者其他的情形。更多参阅；

⑥同向同正可乘性：\(a>b>0\)，\(c>d>0\) \(\Rightarrow\) \(ac>bd\) 我们将 \(a>b\)，\(c>d\) 这样的不等式称为同向不等式，两个同向不等式可以对应相加，但不能对应相减，比如 \(1<a<2\)，\(3<b<4\)，是同向不等式，若相减就得到 \(-2<a-b<-2\) 的错误；；

⑦正数的可乘方性：\(a>b>0\) \(\Rightarrow\) \(a^n>b^n\;\; (n\in N,n\geqslant 2)\)；

⑧正数的可开方性：\(a>b>0\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}\;\; (n\in N,n\geqslant 2)\)；

注意：以上性质的证明可以采用作差法和已证明的性质做基础来证明，同时注意，性质①③是充要条件，其他的性质都是充分不必要条件，使用时要引起足够的重视。

性质拓展

• 主要涉及函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的性质应用，

① \(a>b\)，\(ab>0\)，则\(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)；也称为倒数法则。

② \(a<0<b\)，则\(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)；

③ \(0<a<x<b\)或 \(a<x<b<0\)，则\(\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{x}<\cfrac{1}{a}\)；

• 真分数性质

若\(a>b>0\)，\(m>0\)，则\(\cfrac{b}{a}<\cfrac{b+m}{a+m}\)，\(\cfrac{b}{a}>\cfrac{b-m}{a-m}\)；

说明：上述性质的证明可以使用作差法，简单的解释可以使用糖水定律说明，\(\cfrac{b}{a}\) 为未加糖的糖水浓度[甜度]，\(m\) 为糖，\(\cfrac{b+m}{a+m}\) 为加糖后的糖水浓度[甜度]，生活常识告诉我们，越加糖，水越甜，用数学解释为 \(\cfrac{b+m}{a+m}\)\(>\)\(\cfrac{b}{a}\)；

• 假分数性质

若\(a>b>0\)，\(m>0\)，\(b-m>0\)，则\(\cfrac{a}{b}>\cfrac{a+m}{b+m}\)，\(\cfrac{a}{b}<\cfrac{a-m}{b-m}\)；

说明：上述性质的证明可以使用作差法；

典例剖析

求解 \(2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6\)

分析：约分，得到\(1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3\)，

两边平方，得到\(1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9\)，

两边同加\(-9\)，得到\(-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0\)，

两边同乘以\(-1\)，得到\(0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8\)，

整理为\(0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16\)，

两边同时开平方，得到\(0\leqslant|2+a|\leqslant 4\)，

即\(|a+2|\leqslant 4\)，即\(-4\leqslant a+2\leqslant 4\)，

解得，\(-6\leqslant a\leqslant 2\)；

减法由加法得到，除法由乘法得到；

\(a>b\)，\(c<d\)，则\(-c>-d\)，故\(a-c>b-d\)；

\(a>b>0\)，\(c>d>0\)，则\(\cfrac{1}{d}>\cfrac{1}{c}>0\)，故\(\cfrac{a}{d}>\cfrac{b}{c}>0\)；

已知 \(\cfrac{2}{3}\leq x\leq\cfrac{5}{3}\)， \(-1\leq y\leq 1\)， 则 \(8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}\) 的取值范围是 【\(\qquad\)】

$A.[2^{3}, 2^{4}]$ $B.[2, 2^{6}]$ $C.[\cfrac{1}{2}, 2^{6}]$ $D.[2, 2^{7}]$

详解： \(8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}=2^{3x}\cdot 2^{-y}=2^{3x-y}\)，

因为 \(\cfrac{2}{3}\leqslant x \leqslant \cfrac{5}{3}\)， \(-1 \leqslant y\leq 1\)，

\(2 \leqslant 3x \leqslant 5\)，\(-1 \leqslant -y \leqslant 1\)，

\(1\leqslant 3x-y\leqslant 6\)，\(8^{x}\cdot(\cfrac{1}{2})^{y}=2^{3x}\cdot 2^{-y}=2^{3x-y}\in[2,2^{6}]\)， 故选 \(B\).

\(-3\times\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}\) \(\geqslant\) \(-3\)\(\times\) \(\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}\)\(=\)\(\cfrac{9}{2}\) 是如何变形得到的？

解：上述部分摘录于源题， 源题详述

由源题和均值不等式可知，\(0<x<2\) 且 \(x+\cfrac{2}{3}>0\)，

令 \(m(x)=x+\cfrac{16}{9x}\)，则 \(m(x)\) 在 \((0,\cfrac{4}{3}]\) 上单调递减，在 \([\cfrac{4}{3},+\infty)\) 上单调递增，

故 \(m(x+\cfrac{2}{3})=(x+\cfrac{2}{3})+\cfrac{16}{9(x+\frac{2}{3})}=g(x)\) 在 \((0,\cfrac{2}{3}]\) 上单调递减，在 \([\cfrac{2}{3},+\infty)\) 上单调递增，

故 \(g(x)_{\max}=\max\{g(0),g(2)\}=\cfrac{10}{3}\)

由于 \((x+\cfrac{2}{3})+\cfrac{16}{9(x+\frac{2}{3})}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{16}{9}}\)，

即 \(0>(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}\geqslant 2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}\)，

则由倒数法则可知，\(\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}\leqslant\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}\)，

两边同时乘以 \(-3\) 得到，\(-3\times\cfrac{1}{(x+\frac{2}{3})+\frac{16}{9(x+\frac{2}{3})}-\cfrac{10}{3}}\) \(\geqslant\) \(-3\)\(\times\) \(\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{16}{9}}-\cfrac{10}{3}}\)\(=\)\(\cfrac{9}{2}\) ，变形结束 .