正难则反策略

前言

正难则反的策略，常常用于从正面思考问题难度比较大，或者从正面思考问题时需要考虑的情形比较多，但是从其反面思考容易切入，情形比较少，这时候我们常反其道而行之，就会收到意想不到的效果。

• 什么时候想到用这样的策略？

当题目涉及到至多至少型命题，或否定型命题，或唯一性命题时，或正面思考的情形比较多时，我们应该想到这一策略；

典例剖析

己知下列三个方程\(x^2+4ax-4a+3=0\)，\(x^2+(a-1)x+a^2=0\)，\(x^2+2ax-2a=0\)至少有一个方程有实根，求实数\(a\)的取值范围．

分析：如果从正面思考，那么应该考虑三个方程中仅有一个方程有实根[三种情形]，仅有两个方程有实根[三种情形]，三个方程都有实根[一种情形]，共有七种情形，想想都觉得南，所有这样的题目应该想到从反面求解，情形少，简单。解释：每一个方程分有解或无解两种情形，故三个方程共有\(2^3=8\)种情形；都没有解的情形仅仅一种，其反面应该是至少有一个方程有解；

求解：正难则反，假设没有一个方程有实根，即三个方程都没有实根，

则其必满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta_1=16a^2-4(3-4a)<0}\\{\Delta_2=(a-1)^2-4a^2<0}\\{\Delta_3=4a^2+8a<0}\end{array}\right.\)

解得\(-\cfrac{3}{2}<a<-1\)，

故三个方程中至少有一个方程有实根的实数\(a\)的取值范围为\(a\leqslant -\cfrac{3}{2}\)或\(a\geqslant -1\)。

即实数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty,-\cfrac{3}{2}]\)$\cup $$[-1,+\infty)$.

【2020.济南模拟】给定命题\(p:\)对任意实数\(x\)，都有\(ax^{2}+ax+1>0\)成立；命题\(q:\)关于\(x\)的方程\(x^{2}-x+a=0\)有实数根，若\(p\)或\(q\)为真，则\(a\)的取值范围是___________.

法一：当命题\(p\)为真时，对任意实数\(x\)，都有\(ax^{2}+ax+1>0\)成立；

则\(a=0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta<0}\end{array}\right.，\quad\)解得\(0\leqslant a<4\)；

当\(q\)为真命题时，关于\(x\)的方程\(x^{2}-x+a=0\)有实数根，则\(\Delta=1-4a\geqslant 0\)，解得\(a\leqslant \cfrac{1}{4}\)

若\(p\)或\(q\)为真，分三种情况:①\(p\)真\(q\)假; ②\(p\)假\(q\)真; ③\(p\)、\(q\)均为真，

\(\left\{\begin{array}{l}{0\leqslant a<4}\\{a>\cfrac{1}{4}}\end{array}\right.\quad\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a<0,a\geqslant 4}\\{a\leqslant\cfrac{1}{4}}\end{array}\right.\quad\)或\(\left\{\begin{array}{l}{0\leqslant a<4}\\{a\leqslant\cfrac{1}{4}}\end{array}\right.\quad\)

故解得\(a<4\)。

法2：正难则反，从命题的反面入手分析求解，即考虑\(p\)或\(q\)为假的情形，

由上可知，当命题\(p\)为假时，解得\(a<0\)或\(a\geqslant 4\)；命题\(q\)为假时，则\(a>\cfrac{1}{4}\)，

则\(p\)或\(q\)为假时，可知，\(a\geqslant 4\)，故\(p\)或\(q\)为假的反面，即\(p\)或\(q\)为真时，\(a<4\)。

若命题“\(\forall x\in R\)，\(x^{2}+ax-4a>0\)且\(x^{2}-2ax+1>0\)"是假命题，则实数\(a\)的取值集合为__________.

[答案]\(\{a\mid a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\}\)

法1：利用命题的真假和补集思想求解；求出原命题为真命题时对应的参数取值，再求其补集即可；

若对于任意实数\(x\)，都有\(x^{2}+ax-4a>0\)，则\(\Delta=a^{2}+16a<0\)，即\(-16<a<0\)；

若对于任意实数\(x\)，都有\(x^{2}-2ax+1>0\)，则\(\Delta=4a^{2}-4<0\)，即\(-1<a<1\)；

故命题“\(\forall x\in R\)，\(x^{2}+ax-4a>0\)且\(x^{2}-2ax+1>0\)"是真命题时，有\(a\in(-1,0)\)

而命题“\(\forall x\in R\)，\(x^{2}+ax-4a>0\)且\(x^{2}-2ax+1>0\)"是假命题，

故\(\{a\mid a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\}\)，即\(a\in (-\infty,-1]\cup[0,+\infty)\)；

法2：利用命题的否定求解，求出原命题的否定为真命题时的参数的取值范围即可；

由题知，命题“\(\forall x\in R\)，\(x^{2}+ax-4a>0\)且\(x^{2}-2ax+1>0\)"是假命题，

则命题“\(\exists x_0\in R\)，\(x_0^{2}+ax_0-4a\leqslant 0\)或\(x_0^{2}-2ax_0+1\leqslant 0\)"是真命题，

当\(\exists x_0\in R\)，\(x_0^{2}+ax_0-4a\leqslant 0\)时，由\(\Delta\geqslant 0\)解得\(a\leqslant -16\)或\(a\geqslant 0\)；

当\(\exists x_0\in R\)，\(x_0^{2}-2ax_0+1\leqslant 0\)时，由\(\Delta\geqslant 0\)解得\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 1\)；

故对以上两个解集求并集，得到\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\)；

故\(\{a\mid a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\}\)，即\(a\in (-\infty,-1]\cup[0,+\infty)\)；

法3：当然可以将\(p\vee q\)为真，分为三种情形，分类讨论求解，其结果必然是一样的；

令命题\(p：\exists x_0\in R\)，\(x_0^{2}+ax_0-4a\leqslant 0\)，当\(p\)为真，由\(\Delta\geqslant 0\)解得\(a\leqslant -16\)或\(a\geqslant 0\)；

令命题\(q：\exists x_0\in R\)，\(x_0^{2}-2ax_0+1\leqslant 0\)，当\(q\)为真，由\(\Delta\geqslant 0\)解得\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 1\)；

①当\(p\)真\(q\)假时，\(\left\{\begin{array}{l}{a\leqslant -16或a\geqslant 0}\\{-1<a<1}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(0\leqslant a<1\)；

②当\(p\)假\(q\)真时，\(\left\{\begin{array}{l}{-16<a<0}\\{a\leqslant -1或a\geqslant 1}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(-16<a\leqslant -1\)；

③当\(p\)真\(q\)真时，\(\left\{\begin{array}{l}{a\leqslant -16或a\geqslant 0}\\{a\leqslant -1或a\geqslant 1}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(a\leqslant -16\)或\(a\geqslant 1\)；

综上所述，解得\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\)；

故\(\{a\mid a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 0\}\)，即\(a\in (-\infty,-1]\cup[0,+\infty)\)；

比如从 \(A\)， \(B\)， \(C\)， \(D\)， \(E\)， \(F\)这六个点中任取两个点，学生基本都可以列举出来，但是如果题目变化为列举从六个点中任取四个点的所有情形，若仍然还是从正面思考，则此时难度就大多了。

解析：我们不妨想，每次从六个点中任取四个点，则每次剩余的点为两个，故从六个点中任取四个点的所有情形的个数和从六个点中任取两个点的所有情形的个数是一样的，即 \(C_6^4=C_6^2\)，如果要列举所有情形，则我们可以从剩余的角度先列举得到，比如\(AB\)，\(AC\)，等等，则对应的情形应该为 \(CDEF\)，\(BDEF\)，等等。