整数整除余数相关知识

前言

整除

需要满足条件：三整余零，意思是被除数，除数，商都是整数，余数为\(0\)。如\(\cfrac{4}{2}=2\cdots 0\)；

约数倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除\(0\)以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数\(a\)，\(b\)的最小公倍数记为\([a，b]\)；同样的，\(a\)，\(b\)，\(c\)的最小公倍数记为\([a，b，c]\)，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，\(a\)，\(b\)的最大公约数记为\((a，b)\)。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：\((a,b)\)\(\times\)[a,b]\(=\)\(ab\)(\(a\),\(b\)均为整数)。

由于\(12\)\(=\)\(1\times\)\(12\)\(=\)\(2\)\(\times\)\(6\)\(=\)\(3\)\(\times\)\(4\)\(=\)\(4\)\(\times\)\(3\)\(=\)\(6\)\(\times\)\(2\)\(=\)\(12\)\(\times\)\(1\)，故\(12\)的正公约数集合为\(\{1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(6\)，\(12\)\(\}\)

求\(12\)和\(18\)的最大公约数和最小公倍数；

分析：如图所示，用短除法，

最大公约数\(gcd(12,18)=2\times3=6\)，最小公倍数\(lcm(12,18)=2\times3\times2\times3=36\)

正整数\(180\)的正约数的个数有_____________个。

分析：\(180=2^2\times 3^2\times 5\)，其正约数的构成是\(2^i\cdot 3^j\cdot 5^k\)形式的数，

其中\(i=0，1，2\)，\(j=0，1，2\)，\(k=0，1\)，

故其不同的正约数有\(3\times 3\times 2=18\)个.

正整数分类

• 所有正整数用\(2\)来除，会分为两类；余数分别为\(0\)和\(1\)；

故可以表示为\(2k-1\)和\(2k\)，其中\(k\in N^*\)；

或者表达为\(2k+1\)和\(2k+2\)，其中\(k\in N\)；

• 所有正整数用\(3\)来除，会分为三类；余数分别为\(0\)和\(1\)和\(2\)；

故可以表示为\(3k-2\)和\(3k-1\)和\(3k\)，其中\(k\in N^*\)；

或者表达为\(3k+1\)和\(3k+2\)和\(3k+3\)，其中\(k\in N\)；

• 所有正整数用\(4\)来除，会分为四类，余数分别为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，

我们可以将其表达为\(4k+1\)，\(4k+2\)，\(4k+3\)，\(4k+4\)，此时\(k\in N\)；

还可以这样表达为\(4k-3\)，\(4k-2\)，\(4k-1\)，\(4k\)，此时\(k\in N^*\)；

判断命题“至少有一个整数 \(n\)，\(n^2+1\) 是 \(4\) 的倍数 ”。

分析：将整数分为 奇数和偶数，当 \(n=2k\)时， \(n^2+1=4k^2+1\)，其除以 \(4\) 后余数为 \(1\)；当 \(n=2k+1\)时， \(n^2+1=4k^2+4k+2\)，其除以 \(4\) 后余数为 \(2\)；则 \(n^2+1\) 不会是 \(4\) 的倍数。故此命题是假命题。

应用举例

【2021届高三文科二轮小题满分练第15题】 在数列 \(\{a_{n}\}\) 中， \(a_{1}=3\), 且 \(n(a_{n+1}-2)=(n+1)(a_{n}+2 n-2)\).

(1). 数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式为__________.

解析： 注意对等差数列定义式 \(a_{n+1}-a_n=d\) 中的 \(a_n\) 的内涵的理解；

因为 \(n\cdot(a_{n+1}-2)=(n+1)\cdot(a_{n}+2n-2)\)，整式化为分式，

所以 \(\cfrac{a_{n+1}-2}{n+1}=\cfrac{a_{n}+2 n-2}{n}=\cfrac{a_{n}-2}{n}+2\),

即 \(\cfrac{a_{n+1}-2}{n+1}-\cfrac{a_{n}-2}{n}=2\) ，

则 \(\{\cfrac{a_{n}-2}{n}\}\) 为等差数列且首项为 \(1\) ，公差为 \(2\) ，

所以 \(\cfrac{a_{n}-2}{n}=1+2(n-1)=2n-1\)， 故 \(a_{n}=2n^{2}-n+2\).

(2). 在 \(a_{1}\)， \(a_{2}\)， \(a_{3}\)， \(\cdots\)， \(a_{2019}\) 这 \(2019\) 项中，被 \(10\) 除余 \(2\) 的项数为_____________.

解析： 因为 \(a_{n}=n\cdot(2n-1)+2\)，

所以当 \(n\) 能被 \(10\) 整除时 ；或 \(n\) 为偶数且 \(2n-1\) 能被 \(5\) 整除时， \(a_{n}\) 被 \(10\) 除余 \(2\)，

当 \(n\) 能被 \(10\) 整除时，这些项的下标分别为 \(10\)， \(20\)， \(30\)，\(\cdots\)， \(2000\)， \(2010\)，

当 \(n\) 为偶数且 \(2n-1\) 能被 \(5\) 整除时，这些项的下标分别为 \(8\)， \(18\)， \(28\)，\(\cdots\)， \(2008\)， \(2018\)，

所以 被 \(10\) 除余 \(2\) 的项数为 \((\cfrac{2010-10}{10}+1)+(\cfrac{2018-8}{10}+1)=403\).

整除问题和余数问题

求证：\(1+2+2^2+\cdots+2^{5n-1}(n\in N^*)\)能被31整除。

解法1️⃣：\(1+2+2^2+\cdots+2^{5n-1}\)

\(=\cfrac{1\cdot (2^{5n}-1)}{2-1}=2^{5n}-1=32^n-1=(31+1)^n-1\)

\(=C_n^0\cdot 31^n+C_n^1\cdot 31^{n-1}+C_n^2\cdot 31^{n-2}+\cdots+C_n^{n-1}\cdot 31^1+C_n^n\cdot 31^0-1\)

\(=C_n^0\cdot 31^n+C_n^1\cdot 31^{n-1}+C_n^2\cdot 31^{n-2}+\cdots+C_n^{n-1}\cdot 31^1\)

\(=31\cdot (C_n^0\cdot 31^{n-1}+C_n^1\cdot 31^{n-2}+C_n^2\cdot 31^{n-3}+\cdots+C_n^{n-1})\)

故\(1+2+2^2+\cdots+2^{5n-1}(n\in N^*)\)能被31整除。

解法2️⃣：数学归纳法，记录个思路，过程略。

求\(S=C_{27}^1+C_{27}^2+\cdots+C_{27}^{27}\)除以\(9\)的余数。

分析：\(S=C_{27}^1+C_{27}^2+\cdots+C_{27}^{27}\)

\(S=C_{27}^0+C_{27}^1+C_{27}^2+\cdots+C_{27}^{27}-1\)

\(=(1+1)^{27}-1=2^{27}-1=8^9-1=(9-1)^9-1\)

\(=C_9^0\times9^9-C_9^1\times9^8+C_9^2\times9^7+\cdots+C_9^8\times9^1-C_9^9-1\)

\(=9(C_9^0\times9^8-C_9^1\times9^7+C_9^2\times9^6+\cdots+C_9^8\times9^0)-2\)

\(=9(C_9^0\times9^8-C_9^1\times9^7+C_9^2\times9^6+\cdots+C_9^8\times9^0+1-1)-2\)，

\(=9(C_9^0\times9^8-C_9^1\times9^7+C_9^2\times9^6+\cdots+C_9^8\times9^0-1)+7\)，

所以余数为\(7\)。

求\(0.998^6\)的误差小于\(0.001\)的近似值是_____________。

分析：\(0.998^6=(1-0.002)^2=1+6\times (-0.002)+15\times (-0.002)^2+\cdots+(-0.002)^6\)

由于\(T_3=15\times (-0.002)^2=0.00006<0.001\)，

即第3项以后的项的绝对值都小于\(0.001\)，

所以从第3项起，以后的项可以忽略不计，

即\(0.998^6=(1-0.002)^2\approx 1+6\times (-0.002)=0.998\)。

故\(0.998^6\)的误差小于\(0.001\)的近似值是\(0.998\)。

【证明整除问题】试用数学归纳法证明\((2n+1)^2-1\)能被\(8\)整除，其中\(n\in N^*\)。

证明1️⃣：用数学归纳法。

①当\(n=1\)时，\((2n+1)^2-1=3^2-1=8\)能被\(8\)整除，命题成立；

②假设当\(n=k(k\ge 1，k\in N^*)\)时命题成立，即\((2k+1)^2-1\)能被\(8\)整除，

那么当\(n=k+1\)时，需要证明\([2(k+1)+1]^2-1\)能被\(8\)整除，

\([2(k+1)+1]^2-1=(2k+3)^2-1=[(2k+1)+2]^2-1\)

\(=(2k+1)^2+2\times 2\times (2k+1)+4-1\)

\(=(2k+1)^2-1+8(k+1)\)，显然能被\(8\)整除，

即\(n=k+1\)时命题成立，

综上所述，\((2n+1)^2-1\)能被\(8\)整除，其中\(n\in N^*\)。

证明2️⃣： 数论知识，\((2n+1)^2-1=(2n+1)^2-1^2=(2n+1+1)(2n+1-1)=2n(2n+2)=4n(n+1)\)，

由于 \(n\) 和 \(n+1\) 必然是一奇一偶，故必然能分离出因子 \(2\)，故 \(4n(n+1)\) 中必然会含有因子 \(2\times4\)，则 \(4n(n+1)\) 必然会整除 \(8\)，即\((2n+1)^2-1\)能被\(8\)整除。