数学文化题

前言

典例剖析

我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法]，其方法的前两步如下。第一步：构造数列$1$，$\cfrac{1}{2}$，$\cfrac{1}{3}$，$\cfrac{1}{4}$，$\cdots$，$\cfrac{1}{n}①$，第二步：将数列①的各项乘以$\cfrac{n}{2}$，得到一个新数列$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$，则$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n$等于多少？

$A.\cfrac{n^2}{4}$ $B.\cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.\cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.\cfrac{n(n+1)}{4}$

法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定$n=4$，然后代入验证，选$C$.

法2：写出新数列的通项公式$a_k=\cfrac{1}{k}\cdot \cfrac{n}{2}$，注意通项公式不是$a_n=\cfrac{1}{n}\cdot \cfrac{n}{2}$，

这样求和的数列的通项公式就是

$k\ge 2$，$a_{k-1}a_k=\cfrac{n^2}{4}\cfrac{1}{(k-1)k}=\cfrac{n^2}{4}(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})$

故$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n$

$=\cfrac{n^2}{4}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4})+\cdots+(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})]$

$=\cfrac{n^2}{4}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{n(n-1)}{4}$.

【2019届•高三理科数学课时作业】【2018广东潮州二模】在我国古代著名的数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？【】

$A.8日$ $B.9日$ $C.12日$ $D.16日$

分析：良马日行构成等差数列$\{a_n\}$，其中$a_1=103$，公差$d_1=13$，其前$n$项和为$S_n$；

驽马日行构成等差数列$\{b_n\}$，其中$b_1=97$，公差$d_2=-\cfrac{1}{2}$，其前$n$项和为$T_n$；

设两马$n$日能相逢，则由题可知，$S_n+T_n=2\times 1125$，即$103n+\cfrac{n(n-1)}{2}\times 13+97n+\cfrac{n(n-1)}{2} \times (-\cfrac{1}{2})=2250$，

解得$n=9$，或者由上式直接验证得到$n=9$，故选$B$。

【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为$48$的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为$1$，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。