向量的代数和运算中的系数拆分技巧

前言

本博文主要探讨有关向量运算中的系数拆分技巧；相同的话题，还可能出现在数列的运算中；^[1]

典例剖析

设\(O\)在\(\Delta ABC\)内部，且有\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，则\(\Delta ABC\)的面积与\(\Delta AOC\)的面积之比为多少？

分析：由题目可知\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，

将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，

如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，

即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

理由如下：以\(OA\)和\(OC\)为邻边做平行四边形\(AOCG\)，则点\(D\)为\(AC\)的中点，

同理，点\(E\)为\(BC\)的中点，则可知\(DE\)为中位线，又\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，

则\(O、D、E\)三点共线，故点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

令点\(B\)到边\(AC\)的高线为\(h\)，则过点\(E\)和边\(AC\)平行的直线必然会平分高线\(h\)，

又由于点\(O\)是\(DE\)的三等分点之一，故\(\triangle AOC\) 的高为\(\cfrac{h}{2}\)的\(\cfrac{2}{3}\)，

则\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h\)，\(S_{\Delta AOC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot \cfrac{h}{2}\cdot \cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h\)，

故\(\Delta ABC\)的面积与\(\Delta AOC\)的面积之比为3。

【反思总结】：线段等分点的向量给出方式，

二等分点(中点)：\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的中点；

三等分点：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点；

四等分点：\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点；

设\(O\)在\(\Delta ABC\)内部，且有\(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{BO}+3\overrightarrow{CO}\)，延长\(BO\)交\(AC\)于点\(D\)，则\(\cfrac{S_{\Delta COD}}{S_{\Delta AOD}}\)的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{2}{3}$ $B.\cfrac{1}{3}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{3}{4}$

分析：由题目可知\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，

将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，

如图即\(2\overrightarrow{OF}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\)，

即可知\(E、O、F\)三点共线，且点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

理由如下：以\(OA\)和\(OC\)为邻边做平行四边形\(AOCG\)，则点\(F\)为\(AC\)的中点，

同理，点\(E\)为\(BC\)的中点，则可知\(EF\)为中位线，又\(\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\)，

则\(E、O、F\)三点共线，故点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

此时连结\(BE\)，由点\(O\)是\(\triangle BCF\)的重心可知，延长\(BO\)交\(AC\)于点\(D\)，

则点\(D\)必是边\(CF\)的中点，即\(CD=DF\)，则\(AD=2DF=3CD\)，

过点\(O\)作\(AC\)的垂线段，设其高为\(h\)，

由同高不同底可得，\(\cfrac{S_{\Delta COD}}{S_{\Delta AOD}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}\cdot CD\cdot h}{\cfrac{1}{2}\cdot AD\cdot h}=\cfrac{1}{3}\)，故选 \(B\) .

【解后反思】当题目告诉\(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{BO}+3\overrightarrow{CO}\)，则有结论：

①\(E、O、F\)三点共线，点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

②延长\(BO\)交\(AC\)与点\(D\)，则点\(D\)是\(CF\)的中点。

③三等分点出现，常常和三角形的重心，三角形边的中点等联系起来，

设\(P\)在\(\Delta ABC\)内部，且有\(\overrightarrow{AP}=\cfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{3}\cdot\overrightarrow{AC}\)，则\(\cfrac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta ABC}}\)的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{2}{3}$ $B.\cfrac{1}{3}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{3}{4}$

分析：如图，点\(E\)，\(F\)分别是边\(AB\)，\(AC\)的二等分点和三等分点，作平行四边形\(AEPF\)，延长\(AP\)交\(BC\)于点\(D\)，

则由图可知，\(\triangle ABP\)的高\(PM\)与\(\triangle ABC\)的高\(CN\)的关系为\(CN=3PM\)，

故由同底不同高可知，\(\cfrac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta ABC}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}\cdot PM\cdot AB}{\cfrac{1}{2}\cdot CN\cdot AB}=\cfrac{1}{3}\)，故选 \(B\) .

引申：且可知\(3BD=2CD\)。

【三角形重心的给出方式】若已知\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}\)，或者\(\overrightarrow{AE}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，则可知点\(E\)为\(BC\)的中点；

已知\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，则\(3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}\)，则\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}\)，可知点\(D\)为\(\triangle ABC\)的重心；

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在\(\triangle ABC\)中，内角\(A，B，C\)所对的边分别为\(a，b，c\)，\(AD\)为\(\angle BAC\)的平分线，且满足\(4\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}\)，\(|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{3}\)，若\(4c+a=8\)，求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值；

分析：由\(4\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}\)，可得\(3\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\)，

即\(3\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}\)，即\(|CD|=3|BD|\)，又\(4c+a=8\)，

则\(a=8-4c=|BC|\)，\(|BD|=\cfrac{1}{4}|BC|=2-c\)，\(|CD|=6-2c\)，

又由于\(AD\)为\(\angle BAC\)的平分线，由角平分线定理可知，

\(\cfrac{BD}{CD}=\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{1}{3}\)，故\(|AC|=3c\)，

在\(\triangle ABD\)与\(\triangle ACD\)中，分别对\(\angle BAD\)和\(\angle DAC\)用余弦定理可得，

\(\cfrac{3+c^2-(2-c)^2}{2\times \sqrt{3}c}=\cfrac{3+(3c)^2-(6-3c)^2}{2\times \sqrt{3}\times 3c}\)

解得\(c=\cfrac{5}{4}\)，\(b=\cfrac{15}{4}\)，\(a=3\)。

解后反思：本题目需要特别注意向量系数的拆分技巧；

设 \(O\) 在\(\triangle ABC\)内部，且有 \(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，则\(\triangle ABC\)的面积与\(\triangle BOC\)的面积之比为多少？

解析：由 \(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)可知，\(2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=-\overrightarrow{OA}\)，

以 \(OB\)、\(OC\)为邻边做平行四边形 \(OBEC\)，连结 \(OE\) 与 \(BC\) 相交于点 \(D\) ，\(2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=2\overrightarrow{OE}\)，

则可知 \(2\overrightarrow{OE}=4\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}\)，且 点\(A\)、\(O\)、\(D\)、\(E\)四点共线，

则 \(\cfrac{AO}{OD}=\cfrac{4}{1}\)，故 \(\cfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle BOC}}=\cfrac{5}{1}\) . 且\(\cfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{凹四边形ABOC}}=\cfrac{5}{4}\) .

若 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面内的一点，且满足 \(|\overrightarrow{OB}\)\(-\)\(\overrightarrow{OC}|\)\(=\)\(|\overrightarrow{OB}\)\(+\)\(\overrightarrow{OC}\)\(-\)\(2\overrightarrow{OA}|\)，则\(\triangle ABC\)的形状为【\(\qquad\)】

$A.\textbf{等边三角形}$ $B.\textbf{等腰三角形}$ $C.\textbf{等腰直角三角形}$ $D.\textbf{直角三角形}$

解：令 \(BC\) 边的中点为 \(D\)，注意到 \(\overrightarrow{OB}\)\(+\)\(\overrightarrow{OC}\)\(-\)\(2\overrightarrow{OA}\)\(=\)\((\overrightarrow{OB}\)\(-\)\(\overrightarrow{OA})\)\(+\)\((\overrightarrow{OC}\)\(-\)\(\overrightarrow{OA})\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(\overrightarrow{AC}\)，

故由 \(|\overrightarrow{OB}\)\(-\)\(\overrightarrow{OC}|\)\(=\)\(|\overrightarrow{OB}\)\(+\)\(\overrightarrow{OC}\)\(-\)\(2\overrightarrow{OA}|\)，得到 \(|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AD}|\)，

即 \(|DA|=|DB|=|DC|\)，故由直角三角形斜边中线定理的逆定理^[2]可知，该三角形是直角三角形，且 \(\angle A=Rt\angle\)，故选 \(D\) .

⚠️ 已知非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，则已知 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，即意味着 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) .

分析：给 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\) 两边平方，整理即可得到 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) .

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1. \(n\ge 2\)时，\(4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}\)，
   即就是\((4S_{n+2}-4S_{n+1})=(4S_{n+1}-4S_n)-(S_n-S_{n-1})\)，
   得到\(4a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n\)，变形得到，
   \(a_{n+2}=a_{n+1}-\cfrac{1}{4}a_n\)， ↩︎

2. 直角三角形斜边中线定理：如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且该边是斜边。可以利用这样的思路来证明，由 \(|DA|=|DB|=|DC|\) 可知， 点 \(A\)，\(B\)，\(C\) 三点共圆，则 \(BC\) 为直径，则 \(\angle A=Rt\angle\)，故选 \(D\) . ↩︎