相等与不等的转化

前言

相等关系和不等关系是数学量之间的两种很重要的关系，他们都属于确定性的关系，这两种关系对应的数学刻画方式是等式和不等式；但是在高中数学题目中，有些表面上看是相等关系，我们可以转化为不等关系求变量的取值范围，有些看是不等关系，其实表达的却是相等关系。

不等变相等

不等关系转化为相等关系，主要是由于函数性质^[1]的介入和参与。

已知\(a^2\leqslant 0\)，其实是告诉我们\(a=0\)。已知\(sinx\geqslant 1\)，其实是告诉我们\(sinx=1\)。

已知\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；

在初中阶段，常用的非负式子有二次式，二次根式，绝对值式；其实也就是分别考查\(y=x^2\geqslant 0\)，\(y=\sqrt{x}\geqslant 0\)，\(y=|x|\geqslant 0\)的非负性的应用，

分析：由于\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)，

且\((x+y-3)^2\geqslant 0\)，\(3|x-y-1|\geqslant 0\)，

则须满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.\)，

从而求得\(x=2\)，\(y=1\)，则\(2x+y=5\)；

变式1：已知\((x+y-3)^2+3(x-y-1)^2=0\)，求\(2x+y\)的值；

变式2：已知\(|x+y-3|+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；

变式3：已知\((x+y-3)^2+\sqrt{x-y-1}=0\)，求\(2x+y\)的值；

变式4：已知\(\sqrt{x+y-3}+\sqrt{x-y-1}=0\)，求\(2x+y\)的值；

变式5：已知\(\sqrt{x+y-3}+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；

变式6：已知\(|a-7|+\sqrt{b-24}+(c-25)^2=0\)，求以\(a,b,c\)为三边的三角形面积。

提示：\(7,24,25\)为勾股数，三角形为\(Rt\triangle\)，\(S=84\)；

求函数\(f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}\)的定义域；

分析：由题目可知，\(1-x^2\geqslant 0\)且\(x^2-1\geqslant 0\)，故\(x^2=1\)，

解得\(x=\pm 1\)，故定义域为\(\{-1,1\}\)。

【2018宝鸡市二检文科理科第17题改编】已知函数\(f(x)=4sinxsin(x+\cfrac{\pi}{3})\)，在\(\Delta ABC\)中，角\(A、B、C\)的对边分别是\(a、b、c\)，

(1)、当\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)时，求函数\(f(x)\)的取值范围。

分析：先将函数变形为正弦型函数\(f(x)=2sin(2x-\cfrac{\pi}{6})+1\)，其中\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，

题目转化为正弦型函数在限定区间上的值域问题，常规题目，\(f(x)\in [0，3]\)

(2)、若对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x)\leq f(A)\)，求\(A\)的大小。

分析：对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x)\leq f(A)\)，则\(f(A)\geqslant f(x)_{max}\)；

\(f(x)=2sin(2x-\cfrac{\pi}{6})+1，x\in R\)，则\(f(x)_{max}=3\)，

即\(f(A)\geqslant 3\)，又由于\(f(A)=2sin(2A-\cfrac{\pi}{6})+1\)

故有\(2sin(2A-\cfrac{\pi}{6})+1\geqslant 3\)，即\(sin(2A-\cfrac{\pi}{6})\geqslant 1\)，

又由正弦函数的值域范围【数学常识：已知\(sinx\geqslant 1\)，其实是告诉我们\(sinx=1\)】可知，

此时只能取\(sin(2A-\cfrac{\pi}{6})=1\)，即\(2A-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，故\(A=\cfrac{\pi}{3}\)。

相等变不等

相等关系转化为不等关系，主要是由于重要不等式^[2]和均值不等式的引入和参与。

已知\(a，b\in R^{+}，a+b-ab+3=0\)，求：①、求\(ab\)的范围；②、求\(a+b\)的范围；

分析：①、求\(ab\)的范围；

由题目可知，\(-3+ab=a+b\)，又由均值不等式可知\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\)，

则有\(ab-2\sqrt{ab}-3\geqslant 0\)，即\((\sqrt{ab})^2-2\sqrt{ab}-3\geqslant 0\)

分解因式得到，\((\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3) \geqslant 0\)

解得\(\sqrt{ab}\leqslant -1\) 或 \(\sqrt{ab}\geqslant 3\)

又\(a，b\in R^{+}\)，故 \(\sqrt{ab}\geqslant 3\) (当且仅当\(a=b=3\)取到等号)

给\(\sqrt{ab}\geqslant 3\)两边同时平方，得到\(ab\geqslant 9\)，即\(ab\in [9,+\infty)\)

②、求\(a+b\)的范围；

分析：\(\because a+b+3=ab \leq (\cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b\)

则转化为\(t^2-4t-12 \ge 0\)，解得\(t \leq -2\)(舍去) 或 $t \ge 6 $

故 \(a+b \ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号)\)

【评析】代数式中同时有\(a+b\)和\(ab\)型，两元\(a+b，ab\)常常转化集中为一元\(a+b\)或\(ab\)，这样就好处理多了。

已知 \(x,y>0\)，且满足 \(x+y=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}+8\)，求 \(x+y\) 的最小值。

解：将已知条件变形为 \((x+y)-8=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)，

两边同乘以 \(x+y\)，得到 \([(x+y)-8](x+y)=(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y})(x+y)\)，

整理得到，\((x+y)^2-8(x+y)=5+\cfrac{y}{x}+\cfrac{4x}{y}\)，

对右端施加均值不等式变换，得到\((x+y)^2-8(x+y)=5+\cfrac{y}{x}+\cfrac{4x}{y}\geqslant 5+2\sqrt{4}\)，

当且仅当 \(y=2x\) 且 \(x+y=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}+8\) 时取到等号，即\(x=3\)，\(y=6\) 时取到等号 .

即 \((x+y)^2-8(x+y)\geqslant 9\)，即 \([(x+y)+1][(x+y-9)]\geqslant 0\)，

解得，\(x+y\leqslant -1\)（舍去），或 \(x+y\geqslant 9\)，

即 \(x+y\) 的最小值为 \(9\)。

【2020年新课标Ⅰ理科数学第\(12\)题】 若 \(2^{a}+\log_{2}a=4^{b}+2\log_{4}b\)， 则 【\(\qquad\)】

$A.a > 2b$ $B.a < 2b$ $C.a > b^2$ $D.a < b^2$

解析：因为 \(2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2}b\)，

又由于 \(2^{2b}+\log_{2}b<2^{2b}+\log_{2}2b=2^{2b}+\log_{2}b+1\)，

故 \(2^{a}+\log_{2}a<2^{2b}+\log_{2}2b\)，

此时令 \(f(x)=2^{x}+\log_{2}x\)， 则上述条件变化为 \(f(a)<f(2b)\)这样就能利用新构造的函数的性质比较大小，此时主要用到定义域和单调性。\(\quad\)，

由指对数函数的单调性可得 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内单调递增，且 \(f(a)<f(2b)\)，

则得到 \(a<2b\)，故选：\(B\) .

夹逼定理

已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((-2，0)\)，且不等式\(2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}{x}^{2}+2\)对一切实数\(x\)都成立。

（Ⅰ）求函数\(f(x)\)的解析式；

【解析】：（Ⅰ）由题意得：\(f(-2)=4a-2b+c=0①\)，

因为不等式\(2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}x^2+2\)对一切实数\(x\)都成立，

令\(x=2\)，得：\(4≤f(2)≤4\)，所以\(f(2)=4\)，即\(4a+2b+c=4②\)

由①②解得：\(b=1，且c=2-4a，\)

所以\(f(x)=ax^2+x+2-4a\)，

由题意得：\(f(x)-2x≥0\)且\(f(x)-\cfrac{1}{2}x^2-2≤0\)对\(x∈R\)恒成立，

即\(\begin{cases}ax^2-x+2-4a\ge 0③\\(a-\cfrac{1}{2})x^2+x-4a\leq 0 ④\end{cases}\)对\(x\in R\)恒成立，

对③而言，由\(a>0\)且\(\Delta =1-4a(2-4a)\leq 0\)，

得到\((4a-1)^2\leq 0\)，所以\(a=\cfrac{1}{4}\)，经检验满足④，

故函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=\cfrac{1}{4}x^2+x+1\)。

解后反思：注意由\(4\leq f(2)\leq 4\)得到\(f(2)=4\)的结论的使用，即夹逼定理，或者理解为用不等关系给出相等关系。

细节处理

恒成立中有些带等号，有些不带等号。有空再补充。

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1. 常见常用函数的性质：
   \(y=x^2\geqslant 0\)，\(y=\sqrt{x}\geqslant 0\)，\(y=|x|\geqslant 0\) ↩︎

2. 重要不等式：\(a^2+b^2\geqslant 2ab\)(\(a,b\in R\))
   均值不等式：\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\)(\(a,b\geqslant 0\)) ↩︎