极坐标系和直角坐标系的异同 | 新高考已删

前言

坐标系的选择对于正确地、方便地解决很多问题都县有一定的意义。如，高原地区坐标系选择不当，会使工程测量工作出现不应有的麻烦和错误；在解析几何中，用解析法证明几何图形的性质时，坐标系选得好可以使得证明过程简便，由曲线求方程（坐标系未给定时），坐标系选择得好，则方程简单，否则方程就复杂；解动力学问题，在同一个惯性系里可以选择不同的坐标系，但常常由于坐标系选择不恰当，而易于出现错误。

我们大多数人都习惯在直角坐标系下思考和运算，但近年的高考题目在考查坐标系和参数方程时，越来越多的考查我们在极坐标系下的思维能力，这让我们不得不学着在极坐标系下直接思考和计算，而不经过直角坐标系的转化。

平面直角坐标系和极坐标系是研究解析几何的两个基本坐标系统，它们从不同的角度描绘了平面内的点集与具有丰富几何意义的有序数对的对应关系，是矛盾的统一体，平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标实质上是用两个互相垂直的分向量来表示点的位置，它使研究二元代数方程问题简单自然；极坐标系中的极径与极角实质上是用长度和角度来表示点的方位，使涉及距离或角的问题简捷明快.[我们学习中经常存在的问题] 我们常习惯于单独使用一种坐标系研究问题，这不仅造成基础知识探究上的损失，而且时常带来具体推演上的繁琐.如果适时把两种坐标系配合起来使用，取长补短，相得益彰，既给基本知识探究开拓新的前景，又给解析几何的运算展现新的色彩.

相异之处

(1).在直角坐标系中，点的直角坐标具有唯一性；在极坐标系中，点的极坐标不具有唯一性。

比如，在直角坐标系中，点\(P\)和有序实数对\((x,y)\)是一一对应的，但是在在极坐标系中，点\(P\)的极坐标可以是\((\rho,\theta)\) ，也可以是\((\rho,\theta+2k\pi)(k\in \Z)\)，或\((-\rho,\theta+\pi+2k\pi)(k\in \Z)\)，其表示的是同一点 \(P\) 的极坐标。

用极坐标与直角坐标表示点和曲线时，除遵循共同的原理外，还存在着很大的区别：在直角坐标系下，平面内的点和坐标一一对应，因而曲线和它的方程也是一一对应的，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，因而在平面直角坐标系中，方程组的公共解就是两条曲线全部的交点。但在极坐标系下，平面内的一个点可以有无数个实数对作为它的坐标，如某一点的坐标是 \((\rho，\theta)\) ，那么 \((\rho，\theta+2k\pi)\)， \((-\rho，\theta+(2k+1)\pi)\) 也是这个点的坐标。从而一条曲线可以与多个方程对应，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，因而方程组的公共解不能保证给出两曲线的全部交点.

(2).点的坐标不同，含义不同；

比如涉及到某点\(P\)，在直角坐标系下其表示为\(P(x，y)\)，在极坐标系下表示为\(P(\rho，\theta)\)，

(3).刻画点到原点的距离时难易程度不同；

如果同时刻画距离\(|OP|\)，则在直角坐标系下为\(|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\)，是二元根式函数问题，在极坐标系下为\(|OP|=\rho\)，就是一元一次函数，相关的运算就简单的多了。

(4).求交点坐标时的难易程度不同；

相同之处

(0). 尽管图形在不同的坐标系下有不同的表达式，但有些量是不变的.如，空间直角坐标系中，由 \(x\)，\(y\)，\(z\) 三个坐标来描述，球坐标系中，由 \(r\)，\(\phi\)，\(\theta\) 三个坐标描述；柱坐标系由 \(r\)，\(\theta\)，\(z\) 三个坐标描述. 系统可以自由的选取，但独立坐标的个数总是一定的，即系统的自由度，空间图形自由度都是 \(3\)，平面图形自由度都是 \(2\).

(1).求轨迹方程的思路方法相同；

• 求轨迹方程的一般步骤[在直角坐标系下和极坐标系下都是一样的]

①建立坐标系，用 \((x，y)\) [ \((\rho,\theta)\) ]表示曲线上的任意一点\(M\)的坐标；

②写出适合条件\(p\)的点\(M\)的集合\(P=\{M|p(M)\}\)；

③用坐标表示条件\(p(M)\)，列出方程 \(f(x，y)=0\) [\(\phi(\rho,\theta)=0\)]，并化简；

④检验或证明；

(2).都能使用相关点法求轨迹方程；

【2019届理科数学周末训练1第22题】已知直线\(l\)的极坐标方程为\(\rho sin(\theta-\cfrac{\pi}{3})=0\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\alpha}\\{y=2+2sin\alpha}\end{array}\right.(\alpha为参数)\)。

（2）从极点做曲线\(C\)的弦，求弦的中点\(M\)轨迹的极坐标方程。

分析：①平面直角坐标系下使用相关点法

【法1】设过坐标原点的直线和圆相交于点\(P(x_0，y_0)\)，则所得弦的中点坐标为\(M(x，y)\)

则\(\left\{\begin{array}{l}{2x=x_0}\\{2y=y_0}\end{array}\right.\)，又点\(P(x_0，y_0)\)在圆\(x^2+(y-2)^2=2^2\)上，

代入整理得到普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\)，

即其极坐标方程为\(\rho=2sin\theta\)，其中\(\theta\in(0，\pi)\)，而不是\(\theta\in[0，\pi)\)，以保证弦的存在。

②极坐标系中使用相关点法

【法2】曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4sin\theta\)，过极点的直线的极坐标方程为\(\theta=\alpha\)，

设直线和曲线\(C\)的交点的极坐标为\((\rho_1，\alpha)\)，则弦的中点\(M\)的极坐标为\((\rho，\alpha)\)，

由题目可知，\(\rho_1=2\rho\)，代入曲线\(C\)的极坐标方程为\(2\rho=4sin\alpha\)，

得到\(\rho=2sin\alpha\)，其中\(\alpha\in(0，\pi)\)。

故弦的中点\(M\)轨迹的极坐标方程为\(\rho=2sin\alpha\)，其中\(\alpha\in(0，\pi)\)。

说明：由于弦的中点要存在，则必须保证\(\rho\neq 0\)，即原来的\(\alpha\in[0，\pi)\)必须变为\(\alpha\in(0，\pi)\)。

(3).都可以使用韦达定理，都可以使用求根公式；

【2018\(\cdot\)河南洛阳二模，22】在直角坐标系 \(xOy\) 中，以 \(O\) 为极点， \(x\) 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 \(C_{1}\) 的极坐标方程为 \(\rho\sin\theta=4\)， 曲线 \(C_{2}\) 的极坐标方程为 \(\rho^{2}-2\rho\cos\theta-4\rho\sin\theta+1=0\)， 曲线 \(C_{3}\) 的极坐标方程为 \(\theta=\cfrac{\pi}{4}(\rho\in R)\).

(1).求 \(C_{1}\) 与 \(C_{2}\) 的直角坐标方程；

解： 曲线\(C_{1}: y=4\)； 曲线\(C_{2}：(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\)；

(2).若 \(C_{2}\) 与 \(C_{1}\) 交于 \(P\) 点， \(C_{2}\) 与 \(C_{3}\) 交于 \(A\)， \(B\) 两点，求 \(\triangle PAB\) 的面积.

解：曲线 \(C_{3}\) 的极坐标方程为 \(\theta=\cfrac{\pi}{4}(\rho \in R)\)， 则曲线 \(C_{3}\) 的直角坐标方程为 \(y=x\)，

联立 \(C_{1}\) 与 \(C_{2}\) 的方程得 \(\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4},\end{array}\right.\)

得 \(x^{2}-2x+1=0\)， 解得 \(x_{1}=x_{2}=1\)，

故点 \(P\) 的坐标为 \((1,4)\)， 点 \(P\) 到 \(C_{3}\) 的距离 \(d=\cfrac{|1-4|}{\sqrt{2}}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\).

设 \(A(\rho_{1}, \theta_{1})\)， \(B(\rho_{2}, \theta_{2})\)， 则\(\theta_1=\theta_2=\cfrac{\pi}{4}\)，

将\(\theta=\cfrac{\pi}{4}\) 代入 \(C_{2}：\) \(\rho^{2}-2\rho\cos\theta-4\rho\sin\theta+1=0\)，

得 \(\rho^{2}-3\sqrt{2}\rho+1=0\)， 则 \(\rho_{1}+\rho_{2}=3\sqrt{2}\)， \(\rho_{1} \rho_{2}=1\),

\(|AB|=|\rho_{1}-\rho_{2}|=\sqrt{(\rho_{1}+\rho_{2})^{2}-4\rho_{1}\rho_{2}}=\sqrt{14}\)，

\(S_{\triangle PAB}=\cfrac{1}{2}|AB|\cdot d=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{14}\times\cfrac{3\sqrt{2}}{2}=\cfrac{3\sqrt{7}}{2}\).

【2021届高三数学资料用题】 在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，直线 \(l\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.\)，以原点 \(O\) 为极点， \(x\) 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 圆 \(C\) 的极坐标方程为 \(\rho^{2}+(6\cos\theta-2\sin\theta)\rho+4=0\).

(1). 求直线 \(l\) 的极坐标方程；

解析 : (1)由 \(\left\{\begin{array}{l}{x=1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.\)，两式相加消参得到，直线\(l\)的直角坐标方程为 \(x+y=0\)，

将 \(x=\rho\cos\theta\)， \(y=\rho\sin\theta\)代入上式，

得 \(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta=0\)， 整理得 \(\theta=\cfrac{3}{4}\pi\)，

所以直线 \(l\) 的极坐标方程为 \(\theta=\cfrac{3}{4}\pi\) (\(\rho\in R\)).

(2). 设直线 \(l\) 与圆 \(C\) 交于 \(A\)， \(B\)两点， 求 \(\cfrac{1}{|OA|^{2}}+\cfrac{1}{|OB|^{2}}\) 的值.

分析： 联立 \(\left\{\begin{array}{l}{\theta=\cfrac{3\pi}{4}}\\{\rho^{2}+(6\cos\theta-2\sin\theta)\rho+4=0}\end{array}\right.\)，

得 \(\rho^{2}+ (6\cos\cfrac{3\pi}{4}-2\sin\cfrac{3\pi}{4})\rho + 4=0\)，即 \(\rho^{2}-4\sqrt{2}\rho+4=0\).

设 \(A(\rho_{1}, \cfrac{3\pi}{4})\)， \(B(\rho_{2}, \cfrac{3\pi}{4})\)， 则由韦达定理可知，

\(\rho_{1}+\rho_{2}=4\sqrt{2}\), \(\rho_{1}\rho_{2}=4\)，

所以 \(\cfrac{1}{|OA|^{2}}+\cfrac{1}{|OB|^{2}}=\cfrac{1}{\rho_{1}^{2}}+\cfrac{1}{\rho_{2}^{2}}\)

\(=\cfrac{(\rho_{1}+\rho_{2})^{2}-2\rho_{1}\rho_{2}}{(\rho_{1}\rho_{2})^{2}}=\cfrac{(4\sqrt{2})^{2}-2\times 4}{16}=\cfrac{3}{2}\).

判断点 \((-\cfrac{1}{2}, \cfrac{5 \pi}{3})\) 是否在曲线 \(\rho=\cos\cfrac{\theta}{2}\) 上?

分析: 在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的。不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程。

解： 由于点 \((-\cfrac{1}{2}, \cfrac{5\pi}{3})\) 和点 \((\cfrac{1}{2}, \cfrac{2\pi}{3})\) 是同一点， \(\cos\cfrac{\frac{2\pi}{3}}{2}=\cos\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{1}{2}\)，

所以点 \((\cfrac{1}{2}, \cfrac{2\pi}{3})\) 在曲线 \(\rho=\cos\cfrac{\theta}{2}\) 上， 即点 \((-\cfrac{1}{2}, \cfrac{5\pi}{3})\) 在曲线 \(\rho=\cos\cfrac{\theta}{2}\) 上。

反思感悟： 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的。在这个问题上，两种坐标系是不同的。尽管 \((-\cfrac{1}{2}, \cfrac{5}{3}\pi)\) 并不满足 \(\rho=\cos\cfrac{\theta}{2}\)， 但该点依然在曲线上。