2020届宝鸡质检[1-3]文数典题解析

前言

一检典例

【2020届宝鸡质检1文数第12题】若过点\(P(-1,m)\)可作曲线\(f(x)=-x^3+6x^2\)的三条切线，则实数\(m\)的取值范围是【】

$A.-19< m < 8$ $B.-20 < m < 7$ $C.m < -19或m > 8$ $D.m < -20或m > 7$

法1：从形的角度分析；用导数工具分析函数\(f(x)\)的单调性，做出其简图，如图所示，

当点\(P\)在直线\(x=-1\)的下端[无穷远处]时，我们做不出过点\(P\)的三条切线，故可以排除\(C\)和\(D\)两个选项；

比较选项\(A\)和\(B\)，我们考虑\(m=7\)，此时点\(P\)位于点\(B\)处，若\(m>7\)，我们更加做不出过点\(P\)的三条切线，故选\(B\)；

法2：从数的角度入手计算；\(f'(x)=-3x^2+12x\)，设经过点\(P\)的直线和函数\(f(x)\)相切于点\(Q(x_0，y_0)\)，

[不着急考虑有三条切线的问题，到时候写出切线方程，让其有三个解即可]

则\(\left\{\begin{array}{l}{k=f'(x_0))=-3x_0^2+12x_0①，斜率角度}\\{y_0=-x_0^3+6x_0^2②，切点在曲线上}\end{array}\right.\)

又由于切线方程为\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)，将上述条件代入得到，

\(y-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(x-x_0)\)，又由于动点\(P(-1,m)\)在切线上，则有

\(m-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(-1-x_0)\)，整理得到，\(m=2x_0^3-3x_0^2-12x_0\)，

[此处注意，虽说上述结果只有一个表达式，其实它可以包含切线的三个位置]

因此，函数\(y=m\)和函数\(g(x)=2x^3-3x^2-12x\)的图像应该有三个不同的交点；

由于\(g'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2)\)，

故函数\(g(x)\)在\((-\infty，-1)\)单调递增，在\((-1，2)\)单调递减，在\((2，+\infty)\)单调递增，

显然\(g(x)_{极大}=g(-1)=7\)，\(g(x)_{极小}=g(2)=-20\)，

做出两个函数的简图，如图所示，

由图可知，\(-20<m<7\)，故选\(B\)。

【2020届宝鸡质检1文数第16题】如图所示，三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(PA=\)\(AB\)\(=AC\)\(=BC\)\(=2\)，\(E\)是\(PC\)的中点，求异面直线\(AE\)与\(PB\)所成角的余弦值___________。

法1：理科学生可以使用建立空间直角坐标系的思路求解；

法2：平移构造三角形法，取\(BC\)的中点\(F\)，连接\(EF\)和\(AF\)，

则由\(EF//PB\)，可知\(\angle AEF\)即为两条异面直线\(AE\)与\(PB\)所成的角，

在\(\triangle AEF\)中，容易知道\(AE=EF=\sqrt{2}\)，\(AF=\sqrt{3}\)，

由余弦定理可知，\(cos\angle AEF=\cfrac{1}{4}\)；

【2020届宝鸡质检1文数第18题】某校对2019年入校的\(400\)名新生进行入校考试，根据男女学生的比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了\(100\)名学生，记录他们的分数，将数据分成\(7\)组：\([20,30)\)，\([30,40)\)，\(\cdots\)，\([80,90]\)，并整理成如下的频率分布直方图：

(1).从总体的\(400\)名学生中随机抽取一人，估计其分数小于\(70\)的概率；

分析：解答本题目应该注意到两点：①用频率分布直方图计算出来的其实是频率，我们只是用此频率粗略的估计概率；②计算所得的概率是直方图中的\(100\)个样本数据的概率，还需要用此样本数据的概率粗略的估计总体数据\(400\)的概率；据此计算说明如下：

由频率分布直方图可知，样本中分数小于\(70\)的频率：\(1-(0.02+0.04)\times 10=0.4\)，

所以从总体的\(400\)名学生中随机抽取一人，其分数小于\(70\)分的概率为\(0.4\)；

(2).已知样本中分数小于\(40\)的学生的学生有\(5\)人，试估计总体中分数在\([40,50)\)内的人数；

分析：学生易错的问题，忘记用样本数据来估计总体数据，其本质是没有理解数学的学习本质，是为了服务生产和生活；

由题意可知，样本中分数不小于\(50\)的频率为\((0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=90\)，

则分数在\([40，50)\)内的人数为\(100-100\times 0.9-5=5\)，即样本中分数在\([40，50)\)内的频率[或概率]为\(\cfrac{5}{100}=0.05\)，

则总体中分数在\([40，50)\)内的频率[或概率]为\(\cfrac{5}{100}=0.05\)，分数在\([40，50)\)内的人数为\(400\times 0.05=20\)；

(3).学生易错的问题，由题可知，样本中分数不小于\(70\)的人数为\((0.02+0.04)\times 10\times 100=60\)，

所以样本中分数不小于\(70\)分的男生人数为\(60\times \cfrac{1}{2}=30\)；

则样本中男生人数为\(30\times 2=60\)，故样本中女生人数为\(100-60=40\)，

所以样本中男生和女生人数的比例为\(60:40=3:2\)，由分层抽样原理可知，

估计总体中的男生和女生人数的比例为\(3:2\).

【2020届宝鸡质检1文数第20题】已知\(f(x)=\cfrac{lnx+a}{x}\)，\(g(x)=e^x-1\)，

(1).讨论函数\(f(x)\)的单调性；

分析：定义域为\((0，+\infty)\)，\(f'(x)=\cfrac{-lnx+1-a}{x^2}\)，[利用分子函数的图像思考，可以降低思维难度]

令\(f'(x)=0\)，则\(lnx=1-a\)，故\(x=e^{1-a}\)，

则当\(x\in (0，e^{1-a})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

当\(x\in (e^{1-a}，+\infty)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，

综上所述，函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0，e^{1-a})\)，单调递减区间为\((e^{1-a}，+\infty)\)；

(2).[难点题目]若\(x>0\)，\(g(x)\geqslant f(x)\)恒成立，求实数\(a\)的最大值；

分析：由题目可知，\(\cfrac{lnx+a}{x}\leqslant e^x-1\)对\(x>0\)恒成立，

即\(a\leqslant x(e^x-1)-lnx\)对\(x>0\)恒成立，

令\(h(x)=x(e^x-1)-lnx(x>0)\)，则需要求函数\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=e^x-1+xe^x-\cfrac{1}{x}=\cfrac{xe^x-x+x^2e^x-1}{x}=\cfrac{(x+1)(xe^x-1)}{x}\)

[以下我们要考虑\(y=xe^x-1\)的正负，可以用图像法和导数法两个思路求解]

【思路1】：令\(y=xe^x-1\)，想知道这个函数的零点，必然要想到用图形的思路，而不是计算的思路；

在同一个坐标系中做出\(y=e^x\)和\(y=\cfrac{a}{x}\)的图形，大致能看到\(x_0\in (0，1)\)，

在\(x\in (0,x_0)\)上，\(\cfrac{1}{x}>e^x\)，即\(xe^x-1<0\)，

在\(x\in (x_0,+\infty)\)上，\(\cfrac{1}{x}<e^x\)，即\(xe^x-1>0\)，

当\(x=x_0\)时，\(xe^x-1=0\)，即\(x_0e^{x_0}-1=0\)，且\(x_0=-lnx_0\);

故对函数\(h'(x)\)而言，\(x\in (0,x_0)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

\(x\in (x_0,+\infty)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

故\(h(x)_{min}=h(x_0)=x_0e^{x_0}-x_0-lnx_0=1-x_0-lnx_0=1\)，

故\(a\leqslant 1\)，故\(a_{max}=1\)。

【思路2】：令\(m(x)=xe^x-1\)，则\(m'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)>0\)，故函数\(m(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，

又\(m(0)=-1<0\)，\(m(1)=e-1>0\)，故函数存在零点\(x_0\)，使得\(m(x_0)=0\)，\(x_0\in (0,1)\)，

故对函数\(h'(x)\)而言，\(x\in (0,x_0)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

\(x\in (x_0,+\infty)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

故\(h(x)_{min}=h(x_0)=x_0e^{x_0}-x_0-lnx_0=1-x_0-lnx_0=1\)，

故\(a\leqslant 1\)，故\(a_{max}=1\)。

解后反思：本题目中求函数\(m(x)=xe^x-1\)的零点的设而不求的技巧要特别注意体会和理解，否则我们的思路会到此戛然而止。

【2020届宝鸡市质检1文数第21题】已知动圆\(Q\)与直线\(x+\frac{1}{2}=0\)相切，且与圆\(x^2+y^2-2x+\frac{3}{4}=0\)外切；

(1).求动圆\(Q\)的圆心轨迹\(C\)的方程；

[法1]：直接法，将圆\(x^2+y^2-2x+\frac{3}{4}=0\)化为标准形式为\((x-1)^2+y^2=\frac{1}{4}\)，

设动圆的圆心\(Q\)坐标为\(Q(x,y)\)，由动圆\(Q\)与直线\(x+\frac{1}{2}=0\)相切，且与圆\((x-1)^2+y^2=\frac{1}{4}\)外切；

可知\(\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x+\frac{1}{2}|+\frac{1}{2}=x+1\)，两边平方整理得到，\(y^2=4x\)，

所以动圆\(Q\)的圆心轨迹\(C\)的方程为\(y^2=4x\)。

[法2]：定义法，动圆心\(Q(x,y)\)到定圆点\((1,0)\)的距离为\(r+\frac{1}{2}\)，动圆心\(Q(x,y)\)到定直线\(x+\frac{1}{2}=0\)的距离为\(r\)，

则动圆心\(Q(x,y)\)到定直线\(x+1=0\)的距离为\(r+\frac{1}{2}\)，

则动点\(Q(x,y)\)到定点的距离与动点到定直线的距离相等，故动点的轨迹为形如\(y^2=2px\)的抛物线，

且\(\cfrac{p}{2}=1\)，则\(p=2\)，故\(y^2=4x\)。

(2).已知过点\(M(m,0)\)的直线\(l：x=ky+m\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，是否存在常数\(m\)，使得\(\frac{1}{|AM|^2}\)\(+\frac{1}{|BM|^2}\)恒为定值？

分析：由题意可设直线\(l：x=ky+m\)，

则由\(\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{y^2=4x}\end{array}\right.\quad\) 消去\(x\)得到，\(y^2-4ky-4m=0\)，

则由韦达定理可得，\(y_1+y_2=4k\)，\(y_1y_2=-4m\)，

则\(\cfrac{1}{|AM|^2}\)\(+\cfrac{1}{|BM|^2}=\cfrac{1}{(x_1-m)^2+y_1^2}+\cfrac{1}{(x_2-m)^2+y_2^2}=\cfrac{1}{(k^2+1)y_1^2}+\cfrac{1}{(k^2+1)y_2^2}\)

\(=\cfrac{y_1^2+y_2^2}{(k^2+1)y_1^2y_2^2}=\cfrac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{(k^2+1)y_1^2y_2^2}\)

\(=\cfrac{16k^2+8m}{(k^2+1)16m^2}=\cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)}\)

由于上式对任意\(k\in R\)恒为定值，设\(\cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)}=t\)，

整理得到，\((2m^2t-2)k^2+(2m^2t-m)=0\)，由\(\left\{\begin{array}{l}{2m^2t-2=0}\\{2m^2t-m=0}\end{array}\right.\quad\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{2m^2t=2}\\{2m^2t=m}\end{array}\right.\quad\) 两式相比，解得\(m=2\)，

此时\(\cfrac{1}{|AM|^2}\)\(+\cfrac{1}{|BM|^2}=\cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)}=\cfrac{2k^2+2}{2\times 2^2(k^2+1)}=\cfrac{1}{4}\)，

故存在定点\(M(2,0)\)，满足题意。

【2020届宝鸡市质检1文数第23题】已知\(f(x)=|ax-1|+|x+2|\)，

(1).当\(a=1\)时，求不等式\(f(x)\geqslant 5\)的解集；

分析：用分区间讨论法，求解得到解集为\(\{x\mid x\leqslant -3或x\geqslant 2\}\).

(2).若\(f(x)\leqslant 3-x\)的解集为\(A\)且\([-4，-2]\)是集合\(A\)的子集，求\(a\)的取值范围。

分析：由题意可知，\(f(x)\leqslant 3-x\)在区间\([-4，-2]\)上恒成立，

即\(|ax-1|-x-2\leqslant 3-x\)在区间\([-4，-2]\)上恒成立，即\(|ax-1|\leqslant 5\)在区间\([-4，-2]\)上恒成立，

即\(-4\leqslant ax\leqslant 6\)在区间\([-4，-2]\)上恒成立，由于\(x\in [-4，-2]\)

则\(\left\{\begin{array}{l}{-4\leqslant -4a\leqslant 6}\\{-4\leqslant -2a\leqslant 6}\end{array}\right.\quad\) 即\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{3}{2}\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 2}\end{array}\right.\)，解得即\(-\cfrac{3}{2}\leqslant a\leqslant 1\)

故\(a\)的取值范围是\([-\cfrac{3}{2}，1]\).

二检典例

【2020届宝鸡质检2文数第16题】若\(f(n)\)为\(n^2+1(n\in N^*)\)的各位数字之和，如\(14^2+1=197\)，则\(f(14)\)\(=1+9+7=17\)；记\(f_1(n)=f(n)\)，\(f_2(n)=f(f_1(n))\)，\(f_3(n)=f(f_2(n))\)，\(\cdots\)，\(f_{k+1}(n)=\) \(f(f_k(n))\)，\(k∈N^*\)，则\(f_{2020}(8)\)= _________ .

分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；

由题目的定义可知，\(f(8)\)表示的是\(8^2+1\)的各位数字之和，

由于\(8^2+1=65\)，则\(f(8)=6+5=11\)，这样\(f_1(8)=f(8)=6+5=11\)，

由于\(11^2+1=122\)，则\(f(11)=1+2+2=5\)，故\(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5\)，

由于\(5^2+1=26\)，则\(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8\)，

由于\(8^2+1=65\)，故\(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11\)，

由于\(11^2+1=122\)，故\(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5\)，

故函数\(f_n(8)\)的周期\(T=3\)，\(f_{2020}(8)=f_{673\times 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11\);

故答案为\(11\).

【2020届宝鸡质检2文数第19题】某调查机构为了了解某产品年产量\(x\)(吨)对价格\(y\)(千元/吨)和利润\(z\)的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：

\(x\)	1	2	3	4	5
\(y\)	7	6	5	4	2

(1).求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\).

分析：\(\bar{x}=\cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3\)，\(\bar{y}=\cfrac{1}{5}(7+6+5+4+2)=4.8\)，

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_iy_i}=1\times7+2\times6+3\times5+4\times4+5\times2=60\)

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55\)

\(\hat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}=\cfrac{60-5\times3\times4.8}{55-5\times 3^2}=-1.2\)，

\(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\cdot\bar{x}=4.8-(-1.2)\times 3=8.4\).

则\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=-1.2x+8.4\).

[另解:若对数据做一些简单的处理，运算能简单一些]令\(m=y-5\)，则上述表格转化为

\(x\)	1	2	3	4	5
\(m=y-5\)	2	1	0	-1	-3

\(\bar{x}=\cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3\)，\(\bar{m}=\cfrac{1}{5}(2+1+0-1-3)=-0.2\)，

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_im_i}=1\times2+2\times1+3\times0+4\times(-1)+5\times(-3)=-15\)

\(\sum\limits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55\)

\(\hat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}=\cfrac{-15-5\times3\times(-0.2)}{55-5\times 3^2}=-1.2\)，

\(\hat{a}=\bar{m}-\hat{b}\cdot\bar{x}=-0.2-(-1.2)\times 3=3.4\).

则\(m\)关于\(x\)的线性回归方程\(m=-1.2x+3.4\)，又由于\(m=y-5\)，

故\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(y-5=-1.2x+3.4\)，即\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=-1.2x+8.4\).

(2).若每吨该产品的成品为\(2\)千元，假设该产品能全部卖出去，预测当年的年产量为多少时，年利润\(z\)达到最大值？

分析：年利润 = 收入-成本，收入=产量\(\times\)价格；

故年利润\(z=x(8.4-1.2x)-2x=-1.2x^2+6.4x\)，

当\(x=-\cfrac{6.4}{2\times (-1.2)}=\cfrac{8}{3}\)，年利润最大。

[附参考公式：线性回归直线为\(\widehat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).]

【2020届宝鸡质检2文数第23题】(选修4-5：不等式选讲)已知\(f(x)=|x+3|-|x-2|\)，

(1).求函数\(f(x)\)的最大值\(m\)；

法1：分区间讨论法，\(m=f(x)_{max}=5\)

法2：绝对值不等式性质法，\(m=f(x)_{max}=5\)

具体解法过程，请参见：不等式选讲习题中的例4.

(2).正数\(a\),\(b\),\(c\)满足\(a+2b+3c=m\)，求证：\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c}\geqslant\cfrac{36}{5}\).

分析：由(1)可知，\(a+2b+3c=5\)，

法1：由柯西不等式可得，

\([(\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2+(\sqrt{3c})^2]\cdot [(\sqrt{\frac{1}{a}})^2+(\sqrt{\frac{2}{b}})^2+(\sqrt{\frac{3}{c}})^2]\)

\(\geqslant \left (\sqrt{a}\times\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{2b}\times\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{3c}\times\sqrt{\frac{3}{c}}\right )^2=(1+2+3)^2=36\)

当且仅当\(\cfrac{a}{\frac{1}{a}}=\cfrac{2b}{\frac{2}{b}}=\cfrac{3c}{\frac{3}{c}}\)，即\(a=b=c\)且\(a+2b+3c=5\)，

则\(a=b=c=\cfrac{5}{6}\)时取到等号。

即\(5(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c})\geqslant 36\)，

即\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c}\geqslant\cfrac{36}{5}\).

法2：利用均值不等式，乘常数除常数[两项×两项较常见，本题是三项×三项]的思路证明，

\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c}=\cfrac{1}{5}(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c})\times 5\)

\(=\cfrac{1}{5}(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}+\cfrac{3}{c})\times (a+2b+3c)\)

\(=\cfrac{1}{5}(1+4+9+\cfrac{2b}{a}+\cfrac{2a}{b}+\cfrac{3c}{a}+\cfrac{3a}{c}+\cfrac{6c}{b}+\cfrac{6b}{c})\)

\(\geqslant \cfrac{1}{5}(1+4+9+2\sqrt{4}+2\sqrt{9}+2\sqrt{36})=\cfrac{36}{5}\).

当且仅当\(\cfrac{2b}{a}=\cfrac{2a}{b}\)且\(\cfrac{3c}{a}=\cfrac{3a}{c}\)且\(\cfrac{6c}{b}=\cfrac{6b}{c}\)，

即即\(a=b=c\)且\(a+2b+3c=5\)，则\(a=b=c=\cfrac{5}{6}\)时取到等号。