破解特殊函数的解析式和图像

前言

周期性+左右平移

已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有两个不同实根，求\(a\)的取值范围\((-\infty，1)\)。

【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由\(f(x)=f(x-1)\)可知\(T=1\)；

当\(0<x\leqslant 1\)时，\(x-1\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)}-1=2^{1-x}-1\)；

当\(1<x\leqslant 2\)时，\(x-2\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)}-1=2^{2-x}-1\)；

当\(2<x\leqslant 3\)时，\(x-3\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)}-1=2^{3-x}-1\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此类推，得到如下的解析式：

\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}-1，x\leqslant 0}\\{2^{1-x}-1，0< x \leqslant 1} \\{2^{2-x}-1，1< x\leqslant 2}\\{ 2^{3-x}-1，2< x\leqslant 3} \\ {2^{4-x}-1，3< x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right. \]

依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数\(y=f(x)\)和动态函数\(y=x+a\)的图像于同一个坐标系，

利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。

【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，

由于\(f(x)=f(x-1)(x>0)\)，说明函数在\((0，+\infty)\)上部分图像向右有周期性\(T=1\)，

又由于\(f(x-1)\)的图像是把\(f(x)\)的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的\((0,1]\)区间上的部分即可。

这样，在区间\((1,2]\)段上的图像，就是将\((0,1]\)段上的图像向右平移一个单位即可，

在区间\((2,3]\)段上的图像，就是将\((1,2]\)段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，

得到区间\((0，+\infty)\)上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数\(y=x+a\)的图像，

利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。

解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；

周期性+纵轴平移

同时涉及左右平移和上下平移

已知函数\(f(x) = \begin{cases}x^2 &0\leqslant x\leqslant 1 \\ f(x-1)+1 &x>1 \end{cases}\)，求作函数图像。

【法1】：基础作图法，仿照上例中的法1，先求得分段函数的解析式，再依次做出其图像即可，\(T=1\)

当\(1\leqslant x\leqslant 2\)时，\(0\leqslant x-1\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-1)+1=(x-1)^2+1\)；

当\(2\leqslant x\leqslant 3\)时，\(0\leqslant x-2\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-2)+2=(x-2)^2+2\)；

当\(3\leqslant x\leqslant 4\)时，\(0\leqslant x-3\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-3)+3=(x-3)^2+3\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此类推，得到如下的解析式：

\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{x^2，0\leqslant x\leqslant 1}\\{(x-1)^2+1，1\leqslant x\leqslant 2}\\{(x-2)^2+2，2\leqslant x\leqslant 3}\\{(x-3)^2+3，3\leqslant x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right. \]

【法2】：快速作图法，有了上例中的作图经验，类比上例这样做，先作区间\([0,1]\)上的图像，

将区间\([0,1]\)上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\([1,2]\)的图像；

将区间\([1,2]\)上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\([2,3]\)的图像；

将区间\([2,3]\)上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\([3,4]\)的图像；

以此类推，得到整个分段函数的图像。

周期性+纵轴伸缩

【2016凤中模拟】已知函数\(f(x)=\begin{cases}1-|x+1|，&-2\leq x\leq 0 \\ 2f(x-2) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)在区间\([-2，4]\)内有三个不同实根，求\(a\)的取值范围__________。

思路：在同一个坐标系中做出分段函数\(y=f(x)(x\in[-2，4])\)和函数\(y=x+a\)(\(a\)是动态的)，

利用数形结合求解。 关键是怎么做出分段函数\(f(x)\)的图像？

先做出\(x\in[-2，0]\)上的函数\(f(x)=1-|x+1|\)的图像， 具体可以这样做，

\(|x|\longrightarrow|x+1|\longrightarrow-|x+1|\longrightarrow1-|x+1|\)，再截取得到\(x\in[-2，0]\)上的图像即可。

难点是第二段\(f(x)=2f(x-2)(x>0)，\)此时我们可以这样理解，

这样的效果是由\(f(x)=f(x-2)(周期变换)\)和\(y=2f(x)(振幅变换)\)叠加而成的，

因此我们可以将\(x\in[-2，0]\)上的函数\(f(x)=1-|x+1|\)的图像先向右平移2个单位，

然后再将纵坐标扩大2倍， 这样就得到了\(x\in[0，2]\)上的函数图像；

再将\(x\in[0，2]\)上的函数图像先向右平移2个单位，然后再将纵坐标扩大2倍，

这样就得到了\(x\in[2，4]\)上的函数图像；整个\(x\in[-2，4]\)上的函数图像如右图的橘黄色部分所示；

函数\(y=x+a(a动态)\)的图像如图中的绿色直线所示，让这条绿色的直线沿\(y\)轴平行移动，

根据两个图像有三个交点，就可以得到\(a\)的取值范围(\(-2<a<0\)或\(a=1\))。

感悟反思：

1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；

2、分段函数的图像做法；

3、分段函数中包含周期性和振幅变换的图像做法；

【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第12题】设函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，满足\(f(x+1)=2f(x)\)，且当\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)，若对于任意\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)，则\(m\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，\cfrac{9}{4}]$ $B.(-\infty，\cfrac{7}{3}]$ $C.(-\infty，\cfrac{5}{2}]$ $D.(-\infty，\cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，

给定条件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；

给定条件“\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；

给定条件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)”，是让我们做出函数\(y=f(x)\)的图像和\(y=-\cfrac{8}{9}\)的图像，从图像上判断，在函数\(y=f(x)\)的哪一段上满足\(f(x)\)的图像一直在直线\(y=-\cfrac{8}{9}\)的上方。

解析：令\(x+1=t\)，则\(x=t-1\)，即给定条件\(f(x+1)=2f(x)\)变形为\(f(t)=2f(t-1)\)，

即\(f(x)=2f(x-1)\star\)，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；

由于\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)①，

则当\(x\in (1，2]\)时，\(x-1\in (0，1]\)，则由\(\star\)和①式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\)②；

当\(x\in (2，3]\)时，\(x-1\in (1，2]\)，则由\(\star\)和②式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)\)③；

以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，

当\(x\in (3，4]\)时，\(x-1\in (2，3]\)，则由\(\star\)和③式得到，此时\(f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)\)④；

同理，我们还可以求得\(x\in (-1，0]\)时的解析式；

则当\(x\in (-1，0]\)时，\(x+1\in (0，1]\)，则由\(f(x+1)=2f(x)\)得到，即\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)\)⑤；

在坐标系中做出分段函数在区间\((-1，3]\)上的图像以及直线\(y=-\cfrac{8}{9}\)，

由图像可知，我们求解方程\(4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}\)，解得\(x=\cfrac{7}{3}\)或\(x=\cfrac{8}{3}\)(结合图像舍去)

即\(m=\cfrac{7}{3}\)，故选\(B\)。

解后反思：

• 1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；

• 2、对表达式\(f(x)=2f(x-1)\)的理解，它是两种变换，比如平移变换\(f(x)=f(x-1)\)和振幅变换\(f(x)=2f(A)\)的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，\(f(x-1)\)的意思是将基础图像\(y=x(x-1)\)向右平移一个单位，再乘以\(2\)，意思是在原来平移的图像的基础上在\(y\)轴方向扩大\(2\)倍，这样做图像就快多了。

• 3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点\((1，0)\)和\((2，0)\)，则解析式为\(y=a(x-1)(x-2)\)，且知道最低点为\((\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})\)，可知\(a=2\)，即\(x\in (1，2]\)时，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；

• 4、能不能不做变换，直接利用\(f(x+1)=2f(x)\)来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量\(x\)的取值不放，

比如\(x\in (0，1]\)时，\(f(x)=x(x-1)\)，由\(f(x+1)=2f(x)\)，先求得\(f(x+1)=2x(x-1)\)，注意到\(x+1\in (1，2]\)，要求解\(x\in (1，2]\)上的解析式，还得换元，令\(x+1=t\in (1，2]\)，则\(x=t-1\)，代入\(f(x+1)=2x(x-1)\)，变形得到\(f(t)=2(t-1)(t-2)\)，\(t\in (1，2]\)，即\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)，\(x\in (1，2]\).

• 5、注意函数的解析式的写法和理解。

形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)

形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)

【2021届高三文科小题满分练】定义域为 \(R\) 的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x+2)=2f(x)-2\)， 当 \(x\in(0,2]\) 时， \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-x, &0<x<1,\\\cfrac{1}{x}, &1\leqslant x\leqslant 2,\end{array}\right.\)， 若 \(x\in(0,4]\) 时， \(t^{2}-\cfrac{7t}{2}\leqslant f(x)\) 恒成立，则实数 \(t\) 的取值范围是______________.

分析：首先将本题目转化为求函数 \(f(x)\) 在 \(x\in (0,4]\)上的最小值问题，利用图像求解函数 \(f(x)\) 的最小值；

函数图像的做法思路：当 \(x\in (0,2]\) 时的图像，利用已知的分段函数来做；

由于 \(f(x+2)=2f(x)-2\)，则 \(f(x)=2f(x-2)-2\)，故

当 \(x\in (2,4]\) 时的函数图像这样做，将 \(x\in (0,2]\) 上的 \(f(x)\) 的图像[红色图像]向右两个单位，然后在纵轴方向上扩大 \(2\) 倍，再向下平移 \(2\) 个单位，得到所需的图像[绿色图像]。

由图像可得，函数 \(f(x)_{\min}=-\cfrac{5}{2}\)，

故 \(t^{2}-\cfrac{7t}{2}\leqslant -\cfrac{5}{2}\) ，解得 \(1\leqslant t\leqslant \cfrac{5}{2}\).