破解特殊函数的解析式和图象 | 图象系列

前情概要

相对于一般函数，分段函数的解析式和图象就比较难画，尤其是分段函数中包含有特殊结构的函数就更加难处理，以下举例说明：

周期性+左右平移

已知$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x)\(=\)\begin2^{-x}-1，&x\leq 0 \f(x-1)，&x>0 \end$，若方程$f(x)$$=$$x+a$有两个不同实根，求$a$的取值范围$(-\infty，1)$。

【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由$f(x)=f(x-1)$可知$T=1$；

当$0<x\leqslant 1$时，\(x-1\leqslant 0\)，故$f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)}-1=2^{1-x}-1$；

当$1<x\leqslant 2$时，\(x-2\leqslant 0\)，故$f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)}-1=2^{2-x}-1$；

当$2<x\leqslant 3$时，\(x-3\leqslant 0\)，故$f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)}-1=2^{3-x}-1$；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此类推，得到如下的解析式：

\(f(x) =\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}-1，x\leqslant 0}\\{2^{1-x}-1，0< x \leqslant 1} \\{2^{2-x}-1，1< x\leqslant 2}\\{ 2^{3-x}-1，2< x\leqslant 3} \\ {2^{4-x}-1，3< x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right.\)

依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数$y=f(x)$和动态函数$y=x+a$的图像于同一个坐标系，

利用图像，就能轻松看出参数$a$的取值范围为$a\in (-\infty，1)$。

【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，

由于$f(x)=f(x-1)(x>0)\(，说明函数在\)(0，+\infty)$上部分图像向右有周期性$T=1$，

又由于$f(x-1)$的图像是把$f(x)\(的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的\)(0,1]$区间上的部分即可。

这样，在区间$(1,2]\(段上的图像，就是将\)(0,1]$段上的图像向右平移一个单位即可，

在区间$(2,3]\(段上的图像，就是将\)(1,2]$段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，

得到区间$(0，+\infty)$上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数$y=x+a$的图像，

利用图像，就能轻松看出参数$a$的取值范围为$a\in (-\infty，1)$。

解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；

周期性+纵轴平移

同时涉及左右平移和上下平移

已知函数$f(x) = \beginx^2 &0\leqslant x\leqslant 1 \ f(x-1)+1 &x>1 \end$，求作函数图像。

【法1】：基础作图法，仿照上例中的法1，先求得分段函数的解析式，再依次做出其图像即可，\(T=1\)

当$1\leqslant x\leqslant 2$时，\(0\leqslant x-1\leqslant 1\)，故$f(x)=f(x-1)+1=(x-1)^2+1$；

当$2\leqslant x\leqslant 3$时，\(0\leqslant x-2\leqslant 1\)，故$f(x)=f(x-2)+2=(x-2)^2+2$；

当$3\leqslant x\leqslant 4$时，\(0\leqslant x-3\leqslant 1\)，故$f(x)=f(x-3)+3=(x-3)^2+3$；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此类推，得到如下的解析式：

\(f(x) =\left\{\begin{array}{l}{x^2，0\leqslant x\leqslant 1}\\{(x-1)^2+1，1\leqslant x\leqslant 2}\\{(x-2)^2+2，2\leqslant x\leqslant 3}\\{(x-3)^2+3，3\leqslant x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right.\)

【法2】：快速作图法，有了上例中的作图经验，类比上例这样做，先作区间$[0,1]$上的图像，

将区间$[0,1]\(上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\)[1,2]$的图像；

将区间$[1,2]\(上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\)[2,3]$的图像；

将区间$[2,3]\(上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到\)[3,4]$的图像；

以此类推，得到整个分段函数的图像。

周期性+纵轴伸缩

【2016凤中模拟】已知函数$f(x)=\begin1-|x+1|，&-2\leq x\leq 0 \ 2f(x-2) ，&x>0 \end$，若方程$f(x)=x+a$在区间$[-2，4]$内有三个不同实根，求$a$的取值范围__________。

思路：在同一个坐标系中做出分段函数$y=f(x)(x\in[-2，4])$和函数$y=x+a$($a$是动态的)，

利用数形结合求解。 关键是怎么做出分段函数$f(x)$的图像？

先做出$x\in[-2，0]$上的函数$f(x)=1-|x+1|$的图像， 具体可以这样做，

\(|x|\longrightarrow|x+1|\longrightarrow-|x+1|\longrightarrow1-|x+1|\)，再截取得到$x\in[-2，0]$上的图像即可。

难点是第二段$f(x)=2f(x-2)(x>0)，$此时我们可以这样理解，

这样的效果是由$f(x)=f(x-2)(周期变换)$和$y=2f(x)(振幅变换)$叠加而成的，

因此我们可以将$x\in[-2，0]$上的函数$f(x)=1-|x+1|$的图像先向右平移2个单位，

然后再将纵坐标扩大2倍， 这样就得到了$x\in[0，2]$上的函数图像；

再将$x\in[0，2]$上的函数图像先向右平移2个单位，然后再将纵坐标扩大2倍，

这样就得到了$x\in[2，4]$上的函数图像；整个$x\in[-2，4]$上的函数图像如右图的橘黄色部分所示；

函数$y=x+a(a动态)$的图像如图中的绿色直线所示，让这条绿色的直线沿$y$轴平行移动，

根据两个图像有三个交点，就可以得到$a$的取值范围($-2<a<0$或$a=1$)。

感悟反思：

1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；

2、分段函数的图像做法；

3、分段函数中包含周期性和振幅变换的图像做法；

【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第12题】设函数$f(x)$的定义域为$R$，满足$f(x+1)=2f(x)$，且当$x\in (0，1]$时，\(f(x)=x(x-1)\)，若对于任意$x\in (-\infty，m]$，都有$f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}$，则$m$的取值范围是【】

$A.(-\infty，\cfrac{9}{4}]$ $B.(-\infty，\cfrac{7}{3}]$ $C.(-\infty，\cfrac{5}{2}]$ $D.(-\infty，\cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，

给定条件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；

给定条件“$x\in (0，1]$时，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；

给定条件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有$f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}$”，是让我们做出函数$y=f(x)$的图像和$y=-\cfrac{8}{9}$的图像，从图像上判断，在函数$y=f(x)$的哪一段上满足$f(x)$的图像一直在直线$y=-\cfrac{8}{9}$的上方。

解析：令$x+1=t$，则$x=t-1$，即给定条件$f(x+1)=2f(x)$变形为$f(t)=2f(t-1)$，

即$f(x)=2f(x-1)\star$，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；

由于$x\in (0，1]$时，$f(x)=x(x-1)$①，

则当$x\in (1，2]$时，\(x-1\in (0，1]\)，则由$\star$和①式得到，即$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)$②；

当$x\in (2，3]$时，\(x-1\in (1，2]\)，则由$\star$和②式得到，即$f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)$③；

以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，

当$x\in (3，4]$时，\(x-1\in (2，3]\)，则由$\star$和③式得到，此时$f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)$④；

同理，我们还可以求得$x\in (-1，0]$时的解析式；

则当$x\in (-1，0]$时，\(x+1\in (0，1]\)，则由$f(x+1)=2f(x)$得到，即$f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)$⑤；

在坐标系中做出分段函数在区间$(-1，3]$上的图像以及直线$y=-\cfrac{8}{9}$，

由图像可知，我们求解方程$4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}$，解得$x=\cfrac{7}{3}$或$x=\cfrac{8}{3}$(结合图像舍去)

即$m=\cfrac{7}{3}$，故选$B$。

解后反思：

• 1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；

• 2、对表达式$f(x)=2f(x-1)$的理解，它是两种变换，比如平移变换$f(x)=f(x-1)$和振幅变换$f(x)=2f(A)$的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，$f(x-1)$的意思是将基础图像$y=x(x-1)$向右平移一个单位，再乘以$2$，意思是在原来平移的图像的基础上在$y$轴方向扩大$2$倍，这样做图像就快多了。

• 3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点$(1，0)\(和\)(2，0)$，则解析式为$y=a(x-1)(x-2)\(，且知道最低点为\)(\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})$，可知$a=2$，即$x\in (1，2]$时，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；

• 4、能不能不做变换，直接利用$f(x+1)=2f(x)$来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量$x$的取值不放，

比如$x\in (0，1]$时，\(f(x)=x(x-1)\)，由$f(x+1)=2f(x)$，先求得$f(x+1)=2x(x-1)$，注意到$x+1\in (1，2]$，要求解$x\in (1，2]$上的解析式，还得换元，令$x+1=t\in (1，2]$，则$x=t-1$，代入$f(x+1)=2x(x-1)$，变形得到$f(t)=2(t-1)(t-2)$，\(t\in (1，2]\)，即$f(x)=2(x-1)(x-2)$，\(x\in (1，2]\).

• 5、注意函数的解析式的写法和理解。

形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)

形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)

【2021届高三文科小题满分练】定义域为 \(R\) 的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x+2)=2f(x)-2\)， 当 \(x\in(0,2]\) 时， $f(x)=\left{\begin
x^{2}-x, &0<x<1,\\cfrac{1}, &1\leqslant x\leqslant 2,\end\right.$， 若 \(x\in(0,4]\) 时， \(t^{2}-\cfrac{7t}{2}\leqslant f(x)\) 恒成立，则实数 \(t\) 的取值范围是______________.

分析：首先将本题目转化为求函数 \(f(x)\) 在 $x\in (0,4]$上的最小值问题，利用图像求解函数 \(f(x)\) 的最小值；

函数图像的做法思路：当 \(x\in (0,2]\) 时的图像，利用已知的分段函数来做；

由于 \(f(x+2)=2f(x)-2\)，则 \(f(x)=2f(x-2)-2\)，故

当 \(x\in (2,4]\) 时的函数图像这样做，将 \(x\in (0,2]\) 上的 \(f(x)\) 的图像[红色图像]向右两个单位，然后在纵轴方向上扩大 \(2\) 倍，再向下平移 \(2\) 个单位，得到所需的图像[绿色图像]。

由图像可得，函数 \(f(x)_{\min}=-\cfrac{5}{2}\)，

故 \(t^{2}-\cfrac{7t}{2}\leqslant -\cfrac{5}{2}\) ，解得 \(1\leqslant t\leqslant \cfrac{5}{2}\).

图象进阶

特殊分段函数的图像画法