极值与最值概念
极值与最值是很不容易弄清楚的两个概念。
前言
极值与最值是很不容易弄清楚的两个概念。
相关概念
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极值是在函数的定义域内的某一个自变量的取值\(x_0\)的小邻域[定义域的某个小区间]内，\(f(x_0)\)和这个小邻域内其他的函数值相比较，他是龙头老大(或老小)；最值是函数在自己的定义域内的来说，是龙头老大(或老小)，故极值不会在某个区间的端点处取到，而最值有可能在区间的端点处取到。例题说明
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说到极值和最值，都是针对函数值\(y\)而言；说到极值点或者最值点，都是针对函数的自变量\(x\)而言；且极值点和最值点都不是点，而是实数。
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函数的极大值和极小值之间没有必然联系，即极大值不一定比极小值大；
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对于可导函数\(f(x)\)而言，\(x_0\)成为函数\(f(x)\)的极值点的必要条件是\(f'(x_0)=0\)，其充要条件是\(f'(x_0)=0\)且导函数\(f'(x)\)在\(x_0\)的两侧的函数值异号，简单的说，其充要条件是\(x_0\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点。
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函数在极值点处不一定可导，比如函数\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其极值点，但函数在\(x=0\)处不可导。
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函数的最大值不一定是极大值，也可能是端点值；函数的最小值不一定是极小值，也可能是端点值；
区别联系
| 区别 | (1)极值只能在定义域内部[或者区间内部]取得； (2)在指定区间内部极值点可能不止一个，也可能一个都没有； |
(1)最值可以在区间的端点处取得； (2)最大值最小值最多只有一个； |
| 联系 | (1)极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点; (2)极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得，必定是极值； |
(3)在区间\([a,b]\)上连续的函数\(f(x)\)若有唯一的极大(小)值点，则这个极值点就是最大( 小)值点 |
充要条件
分析：说明不必要性，比如函数\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，但是却有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性不成立。
比如常函数\(f(x)=c(c为常数)\)，满足\(f'(x)\ge0\)，但是没有单调性，故充分性不成立；
若函数\(f(x)\)单调递增，则必有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性成立。
说明：①在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能；②已知函数的单调性[如单调递增]求参数的取值范围类问题中，如果我们令\(f'(x)>0\)恒成立，则会漏掉参数的取值，若令\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立，则会多出参数的取值，所以最后求得参数的取值范围后常常需要验证等号的情形，以防止为常函数。
分析：图像法，由题目可知，若\(p\)为真，则\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性)；
导数法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，则有
\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，+\infty)\)上恒成立，
即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，这个结果是错误的，
原因是缺少验证，当\(m=\cfrac{1}{2}\)时， 函数\(f(x)=0\)为常函数，
不符合题意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。
解后反思：本题目利用函数\(f(x)\)的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。
分析：比如函数\(f(x)=x^3\)，在\(R\)上单调递增，无极值点，而\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，
但是很遗憾\(x=0\)不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；
若\(x_0\)为函数的极值点，也不能推出\(f'(x_0)=0\)，因为函数的极值点有可能就不可导，
比如函数\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。
说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在\(x_0\)处不可导的情形，
故\(x_0\)为函数的极值点，能推出\(f'(x_0)=0\)，必要性成立。
分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，
得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\1+a+b-a^2-7a=10\end{cases}\)，
解得\(\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-6\\b=9\end{cases}\)，
当\(a=-2，b=1\)时，\(f'(x)=(3x-1)(x-1)\)，
此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，但是在\(x=1\)处取到极小值，不符舍去；
当\(a=-6，b=9\)时，\(f'(x)=3(x-1)(x-3)\)，
此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，且在\(x=1\)处能取到极大值。
故\(\cfrac{a}{b}=-\cfrac{2}{3}\)。
反思总结：由方程组解出来的根\(x=x_0\)，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点\(x_0\)处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。
解析: 因为 \(f(x)=x-2\sin x,\) 所以\(f^{\prime}(x)=1-2\cos x\)
所以当\(0<x<\frac{\pi}{3}\)时， \(f'(x)<0\)， \(f(x)\)单调递减；当\(\cfrac{\pi}{3}<x<\pi\)时， \(f^{\prime}(x)>0\)，\(f(x)\)单调道增；
所以当 \(x=\cfrac{\pi}{3}\)时， \(f(x)\)有极小值，即最小值,
且 \(f(x)_{\min }=f(\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{\pi}{3}-2\sin\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\)
又 \(f(0)=0\)，\(f(\pi)=\pi\)，所以 \(f(x)_{\max }=\pi\)，
由题意得\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant M\)等价于
\(M\geqslant|f(x)_{\max}-f(x)_{\min}|=\pi-(\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3})=\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)，
所以\(M\) 的最小值为 \(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)， 故填写\(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)。
高频易错
解：由于 \(f(x)=-x^2+ax+1=-(x-\cfrac{a}{2})^2+1+\cfrac{a^2}{4}\)，其图像是开口向上的抛物线，在对称轴处取得最大值，
故由 \(f(x)\) 在 \([1,2]\) 上的最大值，可得到 \(1\leqslant\cfrac{a}{2}\leqslant2①\)，
又由于此最大值也是其在 \([1,2]\) 上的极大值，故只能得到 \(1<\cfrac{a}{2}<2②\)，[1]
解①②并求交集，得到 \(a\in(2,4)\) ，故选 \(D\) .
函数的最值可以在区间的端点处取到，但是函数的极值不能在区间的端点处取到，故左右两端不能取等号； ↩︎
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