二次不等式习题

前言

初中学习了二次方程的解法，我们由 \(x^2=8\)，可以解得 \(x=\pm2\sqrt{2}\)，结果学生在高中学习了二次不等式的解法后，由此类比容易犯以下错误：

① 由\(x^2<8\)，解得 \(x<\pm2\sqrt{2}\)，这是错误的，原因是由不等式性质[若 \(a>b>0\) ，则 \(\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}\)] 应该得到的是\(\sqrt{x^2}<\sqrt{8}\) ，即 \(|x|<\sqrt{2}\)。

故类似的快速解法是：\(|x|<2\sqrt{2}\)，故 \(-2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2}\)；凡是 $x^2<a (a>0) $ 都可以这样求解。

② 由\(x^2>8\)，解得 \(x>\pm2\sqrt{2}\)，这是错误的，原因是由不等式性质应该得到的是 \(|x|>\sqrt{2}\)。

故类似的快速解法是：\(|x|>2\sqrt{2}\)，故 \(x<-2\sqrt{2}\) 或\(x>2\sqrt{2}\)

注意：\(\sqrt{x^2}=|x|\)

典例剖析

已知不等式\(ax^2-bx-1\ge 0\)的解集是\([-\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{3}]\)，求不等式\(x^2-bx-a<0\)的解集。

分析：由题目已知条件可知，方程\(ax^2-bx-1= 0\)的两个根是\(x=-\cfrac{1}{2}\)和\(x=-\cfrac{1}{3}\)，

故由韦达定理可知\((-\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{3})=-\cfrac{-b}{a}=\cfrac{b}{a}\)，\((-\cfrac{1}{2})\times(-\cfrac{1}{3})=\cfrac{-1}{a}\)，

解得\(a=-6，b=5\)，故所求解集的不等式即为\(x^2-5x+6<0\)，

解得 \(2<x<3\) ，故\(x\in (2，3)\)。

已知不等式 \(ax^{2}+bx+c>0\) 的解集是 \(\{x\mid\alpha<x<\beta\}(\alpha>0)\)， 则不等式 \(c x^{2}+b x+a<0\) 的解集是【\(\qquad\)】

$A.(\cfrac{1}{\beta}, \cfrac{1}{\alpha})$ $B.(-\infty, \cfrac{1}{\beta}) \cup(\cfrac{1}{a},+\infty)$ $C.(\alpha, \beta)$ $D.(-\infty, \alpha) \cup(\beta,+\infty)$

解析: 不等式 \(a x^{2}+b x+c>0\) 的解集是 \(\{x \mid \alpha<x<\beta\}(\alpha>0)\)，

由三个二次的关系可知， \(\alpha\)， \(\beta\) 是一元二次方程 \(a x^{2}+b x+c=0\) 的实数根，

且可知 \(a<0\)， 由韦达定理可知\(\alpha+\beta=-\cfrac{b}{a}\)，\(\alpha \cdot \beta=\cfrac{c}{a}\)，

又由已知，不等式 \(c x^{2}+b x+a<0\) 可化为 \(\cfrac{c}{a} x^{2}+\cfrac{b}{a} x+1>0\)，

即 \(\alpha \beta x^{2}-(\alpha+\beta) x+1>0\) ， 由十字相乘法可分解化为 \((\alpha x-1)(\beta x-1)>0\)，

又 \(0<\alpha<\beta\), \(\cfrac{1}{\alpha}>\cfrac{1}{\beta}>0\)，

所以不等式 \(c x^{2}+b x+a<0\) 的解集是 \(\{x \mid x<\cfrac{1}{\beta}\) 或 \(x>\cfrac{1}{\alpha}\}\)， 故选 \(B\).

已知二次函数\(f(x)>0\)解集\(\{x\mid x<1或x>3\}\),求\(f(log_2^\;x)<0\)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，\(f(x)<0\)的解集为\(\{x\mid 1<x<3\}\)，

故由\(f(log_2^\;x)<0\)可得，\(1<log_2^\;x<3\)，即\(log_2\;2<log_2^\;x<log_2\;8\)，故\(2<x<8\)；

【2018届山东菏泽期中】关于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)的解集中，恰有3个整数，则\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A(4，5)$ $B(-3，2)\cup(4，5)$ $C(4，5]$ $D[-3，2)\cup(4，5]$

分析：由于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)可以转化为\((x-a)(x-1)<0\)，

故函数\(f(x)=(x-1)(x-a)\)有两个零点，一个为定零点\(x=1\)，另一个为动零点\(x=a\)，

做出其图像，由图像可知需要分类讨论，

当\(a>1\)时，解集为\((1，a)\)，此时若要包含3个整数，需要\(4<a\leq 5\)；

当\(a<1\)时，解集为\((a，1)\)，此时若要包含3个整数，需要\(-3\leq a<-2\)；

故\(a\in [-3，2)\cup(4，5]\)，故选\(D\)。

关于\(x\)的不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，则关于\(x\)的不等式\((ax+b)(x-3)>0\)的解集是【\(\qquad\)】

$A.(-\infty，-1)\cup(3，+\infty)$ $B.(1，3)$ $C.(-1，3)$ $D.(-\infty，1)\cup(3，+\infty)$

分析：由不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，即\(ax<b\)的解集是\((1,+\infty)\)，则\(a=b<0\)，

故不等式\((ax+b)(x-3)>0\)可化为\((x+1)(x-3)<0\)，解得\(-1<x<3\)，故选\(C\).

若不等式\(x^2-(a+1)x+a\leqslant 0\)的解集是\([-4,3]\)的子集，则\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[-4，1]$ $B.[-4,3]$ $C.[1，3]$ $D[-1，3]$

分析：原不等式为\((x-a)(x-1)\leqslant 0\)，

当\(a<1\)时，原不等式解集为\([a,1]\)，此时只要\(a\geqslant 4\)即可，即\(-4\leqslant a<1\);

当\(a=1\)时，原不等式的解为\(x=1\)，此时符合要求；

当\(a>1\)时，原不等式的解集为\([1,a]\)，此时只要\(a\leqslant 3\)即可，即\(1<a\leqslant 3\);

综上可知，\(-4\leqslant a\leqslant 3\)，故选\(B\).