整理|高频错因探究

前言

持续整理中......

多解漏解

对题目的隐含条件挖掘不够，容易多解或者漏解。

【2020人大附中高一试题向量部分第12题】已知\(\vec{a}=(x,2x)\)，\(\vec{b}=(-3x,2)\)，如果\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，则\(x\)的取值范围是_________.

分析：设\(<\vec{a},\vec{b}>=\theta\)，则由\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，

得到\(-1<\cos\theta<0\)，而\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\)，

故\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}<0\)，即\(-3x^2+4x<0\)，

解得\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，此时未完，切记，这才解了个必要条件，不是充要条件；

还需要求解\(-1<\cos\theta\)，但是\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}>-1\)不好求解；

故我们换成求解\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\neq -1\)，此时可以仿照等式来求解，没有符号容易出错之嫌；

即\(3x^2-4x\neq \sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}\)，

两边平方，即\((3x^2-4x)^2\neq 5x^2(9x^2+4)\)，整理为\(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\neq 0\)，

即\(x\neq -\cfrac{1}{3}\)，又因为\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，

则\(x\)的取值范围为\((-\infty,-\cfrac{1}{3})\cup(-\cfrac{1}{3},0)\cup(\cfrac{4}{3},+\infty)\)，或者如下书写：

\(\{x\mid x<0或x>\cfrac{4}{3}且x\neq -\cfrac{1}{3}\}\)；

【北京人大附中高一试题】已知扇形的周长是\(10cm\)，面积是\(4cm^2\)，则扇形的圆心角的弧度数是【】

$A.8$ $B.\cfrac{1}{2}$ $C.8或\cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：设扇形的弧长为\(l\)，半径为\(r\)，圆心角为\(\theta\)，

由题意可得，\(\left\{\begin{array}{l}{l+2r=10}\\{\cfrac{1}{2}lr=4}\end{array}\right.\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}{l=8}\\{r=1}\end{array}\right.\) 或\(\left\{\begin{array}{l}{l=2}\\{r=4}\end{array}\right.\)

故\(\theta=\cfrac{l}{r}=8\)或\(\theta=\cfrac{1}{2}\)，但是扇形的圆心角\(\theta<2\pi\)，故舍去\(\theta=8\)，选\(B\)。

书写错误

① \(3\times -1=-3\)，应该是\(3\times (-1)=-3\); \(\cfrac{1}{2}\)的\(3\)次方应该写成\((\cfrac{1}{2})^3=\cfrac{1}{8}\)；

② \(log_2a_n+1\)与\(log_2(a_n+1)\)分不清书写格式；

③ \(a_{n+1}\)与\(a_n+1\)分不清书写格式；对于\(a_n+1\)最好写成\(1+a_n\)不容易出错，带有角标的需要特别注意；数学表达式的书写位置非常关键；\(x\)与\(\cos x\)相乘一般写成\(x\cdot\cos x\)，\(x\)与\(\ln x\)相乘一般写成\(x\cdot\ln x\)，

④ 参数取值范围应该是\(a\in(-\infty，-1]\cup \{1\}\)，错误的写为\(a\in(-\infty，-1]\cup [1]\)；当一个闭区间退化为一个点时，应该写为单元素集合的形式\(\{1\}\)，主要是为了和高斯函数\(y=[x]\)区别；

⑤ 函数的单调区间书写错误，如函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调递减区间应该写为\((-\infty，0)\)和\((0，+\infty)\)，或者可以写为\((-\infty，0),\) \((0，+\infty)\)；但是不能写为\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)，也不能写为\((-\infty，0)\)或\((0，+\infty)\)；

运算顺序错误

已知数列\(\{lg(a_n+\cfrac{1}{2})\}\)为首项为\(lg2\)，公比为\(2\)的等比数列；

求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

分析：\(lg(a_n+\cfrac{1}{2})=lg2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot lg2\)

[说明：\(2^{n-1}\cdot lg2\neq lg2^n=n\cdot lg2\)，极易出错，对数运算的级别要高于乘法运算，故先计算对数，再计算乘法]

即\(lg(a_n+\cfrac{1}{2})=2^{n-1}\cdot lg2=lg2^{2^{n-1}}\)[极易出错]

则\(a_n+\cfrac{1}{2}=2^{2^{n-1}}\)，即\(a_n=2^{2^{n-1}}-\cfrac{1}{2}\).

算理错误

• 集合的包含关系中，在转化为不等式组模型时端点的空心和实心是否包含容易出错；^[1]

• 由集合关系求参数的值时，必须要验证，缺少验证容易出错；

• 命题非的确定；命题\(q\)：\(\cfrac{1}{3-x}>1\)，则\(\neg q\)：应该为\(\cfrac{1}{3-x}\leq 1\)或\(3-x=0\)，而不是\(\cfrac{1}{3-x}\leq 1\)。

• 集合 \(B=\{x\mid \ln x\leqslant0\}\)，则 \(\complement_RB=\{x\mid \ln x>0\}\)，这是错误的，原因是 \(\ln x\) 的前提已经限制了 \(x>0\)；那么如何求 \(B\) 的补集呢，先通过解不等式，得到 \(B=(0,1]\)，故 \(\complement_RB=(-\infty,0]\cup(1,+\infty)\) .

• 研究函数时不注意优先确定函数的定义域出错；比如研究函数\(f(x)=x+lnx\)，用导数求导时先得到\(f'(x)=1+\cfrac{1}{x}\)，此时的定义域不是\(x\neq 0\)，而是\(x>0\)，因为它是依托于原函数的定义域展开研究的，故其定义域应该是原函数的定义域。

• 整式、分式互化时易错，分式化为整式，容易扩大字母取值范围；整式化为分式，容易缩小字母取值范围；

将\(\cfrac{y}{x+2}\cdot \cfrac{y}{x-2}=-\cfrac{1}{2}\)，化简整理为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1\)，分母消失，故字母取值扩大，故需要添加条件限制，则本题应该化简为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1(|x|\neq 2)\)，或者\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1(y\neq 0)\)。

由\(a_{n+1}=2a_n\)，说明数列\(\{a_n\}\)为公比为\(2\)的等比数列，就是错误的，原因是当\(a_n=0\)时，数列为所有项都为\(0\)的常数列，不能构成等比数列，故还需要验证数列的首项\(a_1\)是否为\(0\)，若不为\(0\)，则构成等比数列，若为\(0\)，则不能构成等比数列，这是学生极容易犯错之处。

• 对数变形时容易出错

将\(y=lnx^2\)变形为\(y=2lnx\)，就是错误的，前者字母\(x\neq 0\)，后者\(x>0\)，故正确的化简变形应该时\(y=2ln|x|\).

• 解对数不等式时容易漏掉定义域限制出错。

如由\(log_2x<1\)，得到\(x<2\)就是错的，应该是\(x>0\)且\(x<2\)，即\(0<x<2\)。

如\(y=lgx+lg(x-2)\)，定义域应该为\(x>0\)且\(x-2>0\)的交集，如果由\(y=lgx+lg(x-2)=lg(x^2-2x)\)，限制\(x^2-2x>0\)，结果一定是错误的。

• 已知函数的极值点求参数的取值时容易犯错

函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，求\(a，b\)的值。

主要出错原因，“\(x_0\)为极值点”是可导函数\(f'(x_0)=0\)的充分不必要条件。^[2]

• 应用不等式性质变形时易错；

• 利用函数的单调性求参数的范围时易错，给定单调区间求参数取值范围和存在单调区间求参数取值范围问题容易混淆出错；

• 利用直线的平行或垂直的充要条件时易错

• 直线的垂直关系或者向量的垂直关系不传递导致出错； 如\(\vec{a} \perp\vec{b}\)，\(\vec{b}\perp \vec{c}\)，不能得到\(\vec{a}\perp \vec{c}\)，直线的平行关系或者向量的平行关系能传递，如\(\vec{a}//\vec{b}\)，\(\vec{b}// \vec{c}\)，却能得到\(\vec{a}// \vec{c}\)；

• 设直线方程为\(y=kx+b\)时，不判断是否包含斜率不存在的情形出错

• 等比数列的求和\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)不判断\(q\)是否为\(1\)出错

• 概念易错^[3]

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1. 涉及两个集合的关系时，端点值能否取到是个高频易错点。如已知\(B \subseteq A\)，
   ①当\(A=[-3,1]\)，\(B=[1+2m,m+1]\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
   ②当\(A=(-3,1)\)，\(B=(1+2m,m+1)\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
   ③当\(A=[-3,1]\)，\(B=(1+2m,m+1)\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
   ④当\(A=(-3,1)\)，\(B=[1+2m,m+1]\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3< 1+2m}\\{m+1<1}\end{array}\right.\)，即\(m\in (-2,0)\); ↩︎

2. 分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，
   得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\a^2+a+b+1=10\end{cases}\)，
   解得\(\begin{cases}a=4\\b=-11\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-3\\b=3\end{cases}\)，
   注意到此需要检验，当\(a=-3，b=3\)时，\(f'(x)=3(x-1)^2\)，
   此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的不变号零点，
   故在\(x=1\)处不能取到极值。
   当\(a=4，b=-11\)时，\(f'(x)=(3x+11)(x-1)\)，
   此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，故在\(x=1\)处能取到极值。
   综上所述，\(a=4，b=-11\)。 ↩︎

3. 函数\(f(x)=x^2-1\)的零点是\((－1，0)\)和\((1，0)\)．
   分析：错误，零点不是点，应该改为函数的零点为\(x=-1\)和\(x=1\)
   反思：类似的理科概念有：截距(是坐标)不是距离(长度单位)，光年(长度单位)不是年(时间单位)；最值点(横坐标)不是点，极值点(横坐标)不是点；不动点[是方程 \(f(x)=x\) 的根，或是函数 \(y=f(x)\) 与函数 \(y=x\) 的图象交点的横坐标]不是点； ↩︎