十字相乘法
十字相乘法在高中有了新的舞台，使用频度比较高，最好掌握。比如分解这样的式子： $2e^{2x}$$-$$e^xa$$-$$a^2$$=$$2(e^x)^2$$-$$(e^x)a$$-$$a^2$ 。
前言
案例解释
- 以二次三项式 \(2x^2+3x-2\) 的分解为例;
先将二次项的系数 \(2\) 进行分解 \(2\times 1\) ，再将常数项 \(-2\) 进行分解 \(-2\times 1\) ，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：
比如书写为 \(\large\displaystyle_1^2\times_{\;\;1}^{-2}\) ，验证， \(2\times1+1\times(-2)=0\neq 3\) ，故分解失败，需要调整，如下再试，
\(\large\displaystyle_2^1\times_{\;\;1}^{-2}\) ，验证， \(1\times1+2\times(-2)=-3\neq 3\) ，故分解失败，需要调整，如下再试，
\(\large\displaystyle_2^1\times_{-1}^{\;\;2}\) ，验证， \(1\times(-1)+2\times 2=3\) ，分解成功，
添加未知数，直接写出两个因式，即 \(_{2\cdot x}^{1\cdot x}\) \(\times\) \(_{-1}^{+2}\) ，然后横行写出， \((1x+2)(2x-1)\) ；
故 \(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\)。
- 十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次尝试，以及一定的口算心算能力。
难点破解
在具体的教学实践中，数字系数的十字相乘分解基本不成问题，难在字母系数的分解；
- 低阶层次，常数项的两个因式都是常数；
如 \(x^2-3x+2<0\) ，可以直接快速分解为 \((x-1)(x-2)<0\) ；
- 中阶层次，常数项的两个因式中有一个是常数，另一个为含有字母的代数式[整体思想]；
比如，\(x^2-(m+4)x+m+3<0\)，系数分解为 \(_1^1\) \(\times\) \(_{\;\;-1}^{-(m+3)}\) ，即可以分解为 \((x-1)[x-(m+3)]<0\)；
- 高阶层次，常数项的两个因式都是含有字母的代数式[整体思想]；
比如，\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，先不改动二次项和一次项，只将常数项做因式分解，
使用十字相乘法得到，\(x^2-(2m+1)x+(m+2)(m-1)\leq 0\)，
再次使用十字相乘法得到，\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
再比如，\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，系数分解为\(_1^1\) \(\times\) \(_{-a}^{-a^2}\)，即可以分解为即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
常用分解
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
③\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
④\(x^2+(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x+a)(x+a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；
⑩\(x^2-2x+1-a^2 \geqslant 0(a>0)\)，即\([x-(1-a)][x-(1+a)]\geqslant 0\)；
⑪\(\cfrac{x-a}{x-a-1}>0\)，即\((x-a)[x-(a+1)]>0\)；
⑫\(2sin^2\alpha-\frac{6\sqrt{2}}{5}sin\alpha-\frac{7}{25}=0\)，即\((\sqrt{2}sin\alpha+\frac{1}{5})(\sqrt{2}sin\alpha-\frac{7}{5})=0\)；
⑬\(x^2-4x-a(a-4)\leqslant0\)，即\((x-a)[x-(4-a)]\leqslant0\)；
⑭\(ax^2+(2a+1)x+2\geqslant0\)，即\((ax+1)(x+2)\geqslant 0\)；
⑮\(\sqrt{3}a^2+16a+16\sqrt{3}=0\)，即\((a+4\sqrt{3})(\sqrt{3}a+4)=0\)；
⑯\(\alpha\beta x^2-(\alpha+\beta)x+1>0\)，即\((\alpha x-1)(\beta x-1)>0\)；
特殊情形
⑯\(ab-a-b+1\geqslant 0\)，即\((a-1)(b-1)\geqslant 0\)；
⑰\(a^2-3ab+2b^2\leqslant 0\)，即\((a-b)(a-2b)\leqslant 0\)；或\((\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2\leqslant 0\)；
- 当系数里包含有无理数时，尽量不要尝试用十字相乘法分解，应该考虑公式法。
引例，如解不等式\(t^2-20\sqrt{2}t+175\leqslant 0\)，
不应该考虑十字相乘法分解，应该考虑公式法。
对方程\(t^2-20\sqrt{2}t+175=0\)而言，其求根公式为
\(t=\cfrac{20\sqrt{2}\pm\sqrt{(20\sqrt{2})^2-4\times 175}}{2\times1}=\cfrac{20\sqrt{2}\pm 10}{2}=10\sqrt{2}\pm 5\)
解得\(10\sqrt{2}-5\leqslant t \leqslant 10\sqrt{2}+5\)
- 当系数中含有分数时，也可以尝试使用十字相乘法分解[一般情形下，我们分解的系数的因子大多为整数，分数的很少，但并不是遇到分数时就不能使用十字相乘法]，否则就应该考虑公式法。
引例，如解方程 \((\cfrac{c}{a})^2-\cfrac{11}{3}\cdot\cfrac{c}{a}+2=0\)，可以分解为 \((\cfrac{c}{a}-3)(\cfrac{c}{a}-\cfrac{2}{3})=0\)，
故解得 \(\cfrac{c}{a}=3\) 或 \(\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{3}\) ;
高阶情形
- 在高三的常见题目中，可能更多见的是这样的：\(x\)的本质为代数式，\(x\rightarrow e^x\)
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2\)
\(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2\)
\(=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
其中\(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2\)(令\(e^x=t\))的分解形式如下：
故\(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
分析：关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)，
对其因式分解，可以分解为\([(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0\)，
则方程的两个根为\(x_1=\cfrac{9}{6-k}\)，\(x_2=\cfrac{6}{9-k}\)，
由于方程的根都是整数，则\(6-k\)和\(9-k\)是\(6\)和\(9\)的公约数[含正负]，
故\(6-k\)和\(9-k\)的值可能分别为\(\pm 1\)和\(\pm 3\)，以下检验，
当\(\cfrac{9}{6-k}=1\)，则\(k=-3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故舍去；
当\(\cfrac{9}{6-k}=-1\)，则\(k=15\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z\)，满足题意；
当\(\cfrac{9}{6-k}=3\)，则\(k=3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z\)，满足题意；
当\(\cfrac{9}{6-k}=-3\)，则\(k=9\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}\)无意义，舍去；
故满足题意的\(k=-1\)或\(k=3\)，故选\(D\)。
解析: 由 \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，
两边同除以 \(a_n^2\)，整理得到，
得 \((n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0\)，
令 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t\)， 因式分解得到，\(\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}\)
\((\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)]=0\)，
因为 \(\{a_{n}\}\) 是正项数列，所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0\)，
所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}\)，
则 \(a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}\)
\(=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1\)
\(=\cfrac{2}{n+1}\). 故选 \(B\).
解析：将 \(a_n\) 看成主元，将 \(a_{n+1}\) 看成系数，将其分解得到，
\((a_n-2a_{n+1})(a_n+a_{n+1})=0\)，由于 \(a_n+a_{n+1}>0\)，
故 \(a_n-2a_{n+1}=0\)，由于\(a_1\neq 0\)，即 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{2}\)，
故数列 \(\{a_n\}\) 是首项为 \(1\)，公比为 \(\cfrac{1}{2}\)的等比数列，故\(a_n=1\times(\cfrac{1}{2})^{n-1}=\cfrac{1}{2^{n-1}}\) .
