直线平面垂直的判定和性质

前言

思维导图

垂直问题的转化关系示意图 $$ \require{AMScd} \begin{CD} 线线垂直\quad\quad @>{\left.\begin{array}{l}{m\perp a}\\{m\perp b}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp \alpha}>{判断定理}> 线面垂直\quad\quad@>{\left.\begin{array}{l}{m\perp\alpha}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right\}\Rightarrow \alpha\perp \beta}>{判定定理}>面面垂直 \\ @A{性质定理}A{\left.\begin{array}{l}{l\perp \alpha}\\{}\\{}\\{m\subsetneqq \alpha}\end{array}\right\}\Rightarrow l\perp m}A @A{性质定理}A{\left.\begin{array}{l}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap \beta=l}\\{m\subsetneqq \alpha}\\{m\perp l}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp \beta}A @V{性质定理}V{\left.\begin{array}{l}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap \beta=l}\\{m\subsetneqq \alpha}\\{m\perp l}\\{n\subsetneqq \beta}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp n}V \\ 线面垂直\quad\quad @>>> 面面垂直\quad\quad@>>>线线垂直 \\ \end{CD} $$

注意

完善三种语言：文字语言，图形语言，符号语言

以及变换场景的应用情形；

常识储备

如图所示的是正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用结论：

(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)

证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)

(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)

(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\)；

判定难点

• 主从关系的转换，比如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

• 区分清楚判定定理和性质定理。

• 垂直关系的相互转化

典例剖析

• 线线垂直

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(O\)是四边形\(ABCD\)的中心，关于直线\(A_1O\)，下列说法正确的是【】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$

分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，

当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；

由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，

又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，

此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。

• 线面垂直

【2017凤翔中学第二次月考理科第19题】如图，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=\)\(BC=BD\)\(=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分别是\(AC、DC、AD\)的中点，

(1)求证：\(EF\perp 平面BCG\)

分析提示：只要证明\(AD\perp 平面BCG\)

(2)求三棱锥\(D-BCG\)的体积。

分析：在平面\(ABC\)内，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延长线于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，

由\(G\)到平面\(BCD\)距离\(h\)是\(AO\)长度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，

故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\)。

• 面面垂直

【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\). 详细分析过程

证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，

则有 \(DE//AC//A_1C_1\)， 故由

\[\left.\begin{array}{l}{DE//A_1C_1}\\{直线 A_1C_1\subset 平面 A_1C_1F}\\{DE\not\subset 平面 A_1C_1F }\end{array}\right\}\Rightarrow 直线DE//平面A_1C_1F \]

备注：关于线面位置的表示符号，已经变换过多次，转换为你所对应使用的版本即可；另外，这种书写形式的逻辑关系非常清晰，建议使用。倒过来就是分析，顺过去就是证明过程。

求证：(2) 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明1： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明2： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(A_1C_1F\) \(\perp\) 平面 \(B_1DE\).

【2016衡水金卷】如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AB\perp PA\)，\(AB//CD\)，且\(PB=\)\(BC=BD\)\(=\sqrt{6}\)，\(CD=2AB=2\sqrt{2}\)，\(\angle PAD=120^{\circ}\)，\(E\)和\(F\)分别是棱\(CD\)和\(PC\)的中点。

(1).求证：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).

证明：因为\(E\)为\(CD\)的中点，\(CD=2AB\)，则\(AB=DE\)，又因为\(AB//CD\)，所以四边形\(ABED\)为平行四边形。

又因为\(BC=BD\)，\(E\)为\(CD\)的中点，故\(BE\perp CD\)，则四边形\(ABED\)为矩形，则\(AB\perp AD\)。

又因为\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。

又因为\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。

又因为\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因为\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。

(2).求直线\(PD\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值。

待补充。