直线与圆

前言

当涉及直线与圆的相关问题时，考查最多的知识点是其中的\(Rt\triangle\)。注：其中的\(Rt\triangle\)指半弦长与半径和弦心距构成的直角三角形。

位置关系

为便于表述，设直线方程为\(Ax+By+C=0\)，圆方程为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，则二者的位置关系可以从数的角度刻画，即联立消元[比如消去\(y\)]，得到关于\(x\)的一元二次方程，结合\(\Delta\)的正负就可以判断其位置关系，也可以从形的角度刻画，利用圆心到直线的距，即弦心距\(d\)和半径\(r\)的关系判断，具体如下：

位置状态	代数方法判断	几何方法判断
相离	\(\Delta<0\)	\(d>r\)
相切	\(\Delta=0\)	\(d=r\)
相交	\(\Delta>0\)	\(d<r\)

典例剖析

【2021届高三文科数学月考三用题】已知圆\(x^2+y^2-6x=0\)，过点\(A(1,2)\)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

法1：使用动态方法思维，拖动控制点，你会发现

当弦经过点\(A\)和点\(B\)时，此时的弦是最长的，即为圆的直径，

据此思考和猜想，当此弦旋转到和上述的直径垂直的位置时，弦的长度是最小的可以利用相交弦定理解释，设点\(A\)分过点\(A\)和\(B\)的直径为\(a\)和\(b\)，分过点\(A\)的弦为\(x\)和\(y\)，则\(x+y\)\(\geqslant\)\(2\sqrt{xy}\)\(=\)\(2\sqrt{ab}\)，当且仅当\(x=y\)时取到等号[此时弦和直径垂直]，此时弦长\(x+y\)最小；\(\quad\)；

又由于\(|AB|=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}\)，

然后借助\(Rt\triangle\)，求解得到弦的最小值为\(2\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=2\)；

法2：计算方法，大概计算了几步，感觉非常麻烦，遂放弃；

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】直线\(l：kx-2y-3=0\)与圆\(C：(x-1)^2+\) \((y+2)^2\) \(=4\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)，则实数\(k\)的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.-\cfrac{3}{2}$ $C.\pm\cfrac{3}{2}$ $D.\pm \cfrac{1}{2}$

分析：由于圆的半径为\(r=2\)，故由\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)可得，弦长\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则弦心距为\(1\)，

即点\(C\)到直线\(AB\)的距离为\(\cfrac{|k\times 1-2\times(-2)-3|}{\sqrt{k^2+4}}=1\)，解得\(k=\cfrac{3}{2}\)，故选\(A\)。

【试题自我研究】直线\(3x+4y+b=0\)与圆\(C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\)交于\(A\)，\(B\)两点，试求\(\triangle ABC\)的面积最大时的\(b\)=_______________。

分析：由于\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}R^2sinC\)，故当\(C=\cfrac{\pi}{2}\)时，面积最大；

由于\(R=2\)，且此时三角形为等腰直角三角形，故圆心\((1，-2)\)到直线\(3x+4y+b=0\)的距离为\(\sqrt{2}\)，

即\(\cfrac{|3\times 1+4\times(-2)+b|}{\sqrt{3^3+4^2}}=\sqrt{2}\)，解得\(b=\pm 5\sqrt{2}+5\)，

又由于直线和圆必须相交，即\(\cfrac{|3\times 1+4\times(-2)+b|}{\sqrt{3^3+4^2}}\leqslant 2\)，将求得的上述\(b\)值代入验证，都满足，

故\(b=5(\pm \sqrt{2}+1)\)

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\(m>0\)，直线\(\sqrt{2}(x+y)+1+m=0\)与圆\(x^2+y^2=m\)相切，则\(m\)的值为【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

法1：几何法求解，\(d=\cfrac{|m+1|}{\sqrt{2+2}}=\sqrt{m}=r\)，解得\((m-1)^2=0\)，即\(m=1\)，故选\(A\).

法2：代数方法求解，\(\Delta=0\).

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，则它的一条渐近线被圆\(x^2+y^2-6x=0\)截得的弦长为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.3$ $C.\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$ $D.3\sqrt{2}$

分析：先有\(e=\sqrt{2}\)，可得\(c=\sqrt{2}a\)，解得\(b=a\)，故设其一条渐近线为\(y=\cfrac{b}{a}x=x\)，

又圆\(x^2+y^2-6x=0\)的圆心为\((3，0)\)，\(r=3\)，故圆心到渐近线的距离\(d=\cfrac{3}{\sqrt{1+1}}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\)，

可得截得的弦长为\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{9-\cfrac{9}{2}}=3\sqrt{2}\)，故选\(D\).

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在极坐标系中，直线\(\rho sin\theta -\rho cos\theta=1\)被曲线\(\rho=\sqrt{2}\)截得的线段长为【\(\qquad\)】

$A.\sqrt{3}$ $B.\sqrt{6}$ $C.\cfrac{\sqrt{6}}{2}$ $D.2$

提示：直线为\(y-x=1\)，圆为\(x^2+y^2=2\)，

法1：代数法，利用弦长公式求得弦长为\(\sqrt{6}\)，故选\(B\)。

法2：几何法，利用\(Rt\triangle\)解得弦长为\(\sqrt{6}\)，故选\(B\)。

设\(m，n\in R\)，则直线\((m+1)x+(n+1)y-2=0\)与圆\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切，且\(m+n\)的取值范围是_________。

分析：由圆心\((1 ,1)\)到直线的距离等于半径可得，\(\cfrac{(m+1)\cdot 1+(n+1)\cdot 1-2}{\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}}=1\) ，

变形得到\(mn=m+n+1\)，由\(mn\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\)，

则\(m+n+1\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\)，求解上述以\(m+n\)为整体的不等式，

得到\(m+n\leq 2-2\sqrt{2}\)或者\(m+n\ge 2+2\sqrt{2}\)；

【2017宝中训练题】若点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，则下列不等式正确的是【\(\qquad\)】

$A.a^2+b^2\leq 1$ $B.a^2+b^2\ge 1$ $C.\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\leq 1$ $D.\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1$

法1：三角函数的有界性，由于点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，

则有\(bcos\theta+asin\theta=ab\)，即\(\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)=ab，tan\phi=\cfrac{b}{a}\)，

由三角函数的有界性可知\(|sin(\theta+\phi)|=|\cfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1\)，

即\(\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\ge 1\)，即\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选\(D\).

法2：数形结合，由已知可知点\(P\)在单位圆上，自己做出大致图像可知，直线和圆的位置关系只能是相切和相交，

故圆心\((0，0)\)到直线\(bx+ay-ab=0\)的距离应该小于等于半径\(1\)，

即\(\cfrac{|b\cdot 0+a\cdot 0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\)，

化简得\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选\(D\).

已知曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\) 与直线 \(y=k(x-2)+2\) 仅有 \(2\) 个交点， 求实数 \(k\)的取值范围；

分析：见到曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，既要能看到其是二次函数和根式函数的复合函数，也要能看到两边同时平方后，能和半圆联系起来，用后者的思路求解此题目就更简单。

解析：由曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，两边同时平方，

同解变形为\((x-1)^2+y^2=1(y\geqslant 0)\)，这是个圆心在点 \((1,0)\)，半径为 \(1\) 的 \(x\) 轴上方的半圆；

在同一个坐标系中，做出两个函数的图像，从形的角度入手分析，利用数形结合求解即可；

直线 \(y=k(x-2)+2\) 经过点 \((2,2)\) 和 \((0,0)\) 时，斜率为\(1\)；

当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之一：令\(\angle ABx=\theta\)，

则\(\tan\theta=2\)，由此求得\(\tan2\theta=\cfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=-\cfrac{4}{3}\)，

故直线和曲线相切时的斜率\(k=\cfrac{3}{4}\)，

由图像可知，直线和曲线仅有两个交点时， \(k\in(\cfrac{3}{4}, 1]\)，

当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之二：利用导数求解，略；

当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之三：利用点 \((1,0)\) 到直线的距离\(d=r=1\)来求解，

点 \((1,0)\) 到直线 \(y=k(x-2)+2\)，即直线 \(kx-y-2k+2=0\) 的距离 \(d=\cfrac{|k\times 1-0-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1\)，

化简为 \(|k-2|=\sqrt{k^2+1}\)，解得 \(k=\cfrac{3}{4}\)，故直线和半圆相切时的斜率为 \(k=\cfrac{3}{4}\) .

解后反思：当涉及直线和圆相切时，如果需要求切线的斜率，此时的可能思路有：①三角函数法，注意利用图像的对称性，难度较小；②点到直线的距离法\(d=r\)，难度较小；③导数法，难度较大；