函数图像的辨析

前言

函数图像的识别、辨析问题，常考查函数的奇偶性，函数值的正负、单调性、对称性、零点、极限、极值等，常用排除法；其一般的步骤是：定义域；值域；周期性；奇偶性；确定单调区间，极值点等；求函数的某些特殊点，如与坐标轴的交点，不连续点；考察渐近线；

解题思路

如何寻找函数图象与解析式之间的对应关系？

知式选图

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置。

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势。

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性。

④从函数的周期性，判断图象的循环往复。

知图选式

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域。

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性。

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性。

④从图象的循环往复，观察函数的周期性。

知识储备

• 常见的奇函数：

$f(x)=kx$；

$f(x)=x^3$；

$f(x)=x^k(k为奇数)$；

$y=Asin\omega x$；

$y=e^x-e^{-x}$；

$y=2^x-2^{-x}$；

$y=ln\frac{x+1}{x-1}$；

$f(x)=x+\frac{k}{x}(k\neq 0)$；

$g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$；

$g(x)=x^3+lg(\sqrt{x^2+1}+x)$；

$f(x)=x^3\pm 3sinx$

$f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$；

$g(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$；

$f(x)=\cfrac{2^x+1}{2^x-1}$

备注：\(g(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}=\cfrac{1-2^{x}}{2^{x}+1}=-g(x)\)

• 常见的偶函数：

$f(x)=x^2$；

$y=k|x|(k\in R)$；

$y=e^{|x|}$；

$f(x)=x^k(k为偶数)$；

$y=Acos \omega x+k$；

$y=e^x+e^{-x}$；

$y=2^x+2^{-x}$；

$f(x)=ln(1+|x|)$；

$f(x)=\frac{|x|}{x^2+1}$

$h(x)=ln(2^x+2^{-x})$；

典例剖析

【2020 · 天津卷】函数\(y＝\frac{4x}{x^2＋1}\)的图象大致为【\(\qquad\)】

解析: 令 \(f(x)=\cfrac{4x}{x^{2}+1}\)， 则 \(f(x)\) 的定义域为 \(R\)，

且 \(f(-x)=\cfrac{-4x}{x^{2}+1}=-f(x)\)， 因此，函数为奇函数， 排除 \(C\)，\(D\)。

当 \(x=1\) 时， \(f(1)=\cfrac{4}{2}=2\)，排除 \(B\)，故选 \(A\) .

【2021 · 浙江卷】已知函数 \(f(x)=x^{2}+\cfrac{1}{4}\)， \(g(x)=\sin x\)， 则图象为如图的函数可能是【\(\qquad\)】

$A.y=f(x)+g(x)-\cfrac{1}{4}$ $B.y=f(x)-g(x)-\cfrac{1}{4}$ $C.y=f(x)g(x)$ $D.y=\cfrac{g(x)}{f(x)}$

解析：对于选项\(A\)， \(y=f(x)+g(x)-\cfrac{1}{4}=x^{2}+\sin x\)， 该函数为非奇非偶函数, 与函数图象不符， 排除 \(A\)；

对于选项\(B\)， \(y=f(x)-g(x)-\cfrac{1}{4}=x^{2}-\sin x\)，该函数为非奇非偶函数， 与函数图象不符， 排除 \(B\)；

对于选项\(C\)， \(y=f(x)g(x)=(x^{2}+\cfrac{1}{4})\sin x\)， 则 \(y'=2x\sin x+(x^{2}+\cfrac{1}{4})\cos x\)， 当 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 时，\(y'\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{2}\)\(\times\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}+(\cfrac{\pi^{2}}{16}+\cfrac{1}{4})\)\(\times\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(>\)\(0\)，说明在 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 处函数单调递增，但函数图象在 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 处单调递减，故不符题意，排除 \(C\) .

综上所述，选 \(D\) .

【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第7题】已知函数\(f(x)=x^2-e^{|x-1|}-2x+3\)，则\(f(x)\)的大致图像是【】

分析：为求作函数\(f(x)=x^2-e^{|x-1|}-2x+3=(x-1)^2-e^{|x-1|}+2\)的图像，选函数\(g(x)=x^2-e^{|x|}+2\)为模板函数，偶函数，故函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，故排除\(B\)和\(D\)，再用赋值法，\(f(3)=3^2-e^2-6+3<0\)，则排除\(C\)，故选\(D\)。

【2019高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(f(x)=e^{|x|}\cdot cosx\)，则\(f(x)\)的大致图像是【】

分析：函数\(f(x)\)为偶函数，结合赋值法，选\(C\).

已知函数 \(f(x)=\) \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x \leqslant \mathrm{e}, \\ \ln x, x>\mathrm{e},\end{array} \quad\right.\) 则函数 \(y=f(\mathrm{e}-x)\) 的大致图像是【\(\qquad\)】

提示：选\(B\).

【2019-湖南株洲高三教学质量统一检测】设函数 \(f(x)\)\(=x\sin x+\cos x\) 的图像在点 \((t, f(t))\) 处切线的斜率为 \(g(t)\)， 则函数 \(y\)\(=g(t)\) 的图像一部分可以是【\(\qquad\)】

解： 由 \(f(x)=x\sin x+\cos x\) 可得 \(f'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x\)\(=x\cos x\)，

即 \(y=g(t)=t\cos t\)， 是奇函数， 排除选项 \(B\)， \(D\)；

当 \(t\in\left(0, \cfrac{\pi}{2}\right)\) 时， \(y=g(t)>0\)， 排除选项 \(C\).故选 \(A\) .

函数 \(y=\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}\) 的图象大致为【\(\qquad\)】

解：函数的定义域为 \(R\)， \(f(-x)=\cfrac{2\sin(-x)}{2^{-x}+2^{x}}=-\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}=-f(x)\)，

则函数为奇函数， 其图象关于原点对称， 故可排除选项 \(C\)；

又当 \(x \in(0, \pi)\) 时， \(\sin x>0,2^{x}+2^{-x}>0\)， 故 \(\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}>0\)，

可排除选项 \(B\)； 又 \(2^{x}+2^{-x} \geqslant 2\)，\(2\sin x\leqslant 2\)， 不能同时取等，

故 \(\cfrac{2 \sin x}{2^{x}+2^{-x}}<1\)， 可排除选项 \(D\) . 故选: \(A\).

已知函数 \(f(x)=\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+1\)\((a\in R)\)，下列选项中不可能是函数 \(f(x)\) 图象的是【\(\qquad\)】

解析：由于 \(f(x)=\cfrac{1}{3}ax^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+x+1\)(\(a\in R\))，则\(f^{\prime}(x)=a x^{2}+x+1\)

当 \(a=0\) 时， \(f'(x)=x+1\)， 易得 \(f(x)\) 在 \((-\infty,-1)\) 上为减函数， 在 \((-1,+\infty)\) 上为增函数， 故 \(A\) 可能；

当 \(a\geq\cfrac{1}{4}\) 时， \(\Delta\leq 0\)，\(f'(x)\geq 0\)，\(f(x)\) 为增函数， 故 \(B\) 可能；

当 \(a<0\) 时， \(\Delta>0\)，\(f'(x)\) 有两个不相等且互为异号的实数根(即两个极值点一正一负)， \(f(x)\) 先递减再递增然后再递减， 故 \(C\) 可能；

当 \(0<a<\cfrac{1}{4}\) 时， \(\Delta>0\)，\(f'(x)\) 有两个不相等的负实数根(即两个极值点都是负)， \(f(x)\) 先递增再递减然后再递增， 则 \(D\) 错误，故选 \(D\) 。