均值不等式使用变化

前言

需要将题目中的常数作以代换，以便于更好的使用均值不等式。

案例说明

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】已知三角形的内角\(A、B、C\)所对的对边分别是\(a、b、c\)，若\(a=\sqrt{2}\)，\(b^2-c^2=6\)，则角\(A\)最大时，三角形\(ABC\)的面积为_________。

分析：由\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-\cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=\cfrac{b^2+2c^2}{3bc}\ge \cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，

即\(cosA\)的最小值为\(\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，当且仅当\(b=\sqrt{2}c\)且\(b^2-c^2=6\)，即\(b=2\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}\)时取到等号；

此时\(A\)取到最大值，\(sinA=\cfrac{1}{3}\)，

故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \cfrac{1}{3}=\sqrt{2}\)。

反思：①常数代换，由\(2=\cfrac{6}{3}=\cfrac{b^2-c^2}{3}\)，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求\(cosA\)的最值。

②教师备用，也可以这样考虑，\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，即\(f(c)=\cfrac{2c^2+4}{2\sqrt{c^2+6}c}(c>0)\)，求函数\(f(c)\)的最小值，如果想运算简单，还可以考虑求\(f(c)^2=\cfrac{(2c^2+4)^2}{4(c^2+6)c^2}(c>0)\)的最小值。

已知 \(x,y>0\)，且 \(x+2y=2\)，求\(\cfrac{3x^2+5y^2+2x+4y}{xy}\)的最小值；

分析：给定分式的分子上不是二次齐次式，分母为二次式，故常规的思路需要将分母上的一次式转化为二次式，用到的方法是常数代换。

\(\cfrac{3x^2+5y^2+2x+4y}{xy}\)\(=\cfrac{3x^2+5y^2+2\cdot(x+2y)}{xy}\)\(=\cfrac{3x^2+5y^2+(x+2y)\cdot(x+2y)}{xy}\)

\(=\cfrac{3x^2+5y^2+x^2+4xy+4y^2}{xy}\)\(=\cfrac{4x^2+9y^2+4xy}{xy}\)\(=\cfrac{4y}{x}+\cfrac{9x}{y}+4\)\(\geqslant 16\)

当且仅当 \(x=\cfrac{6}{7}\)，\(y=\cfrac{4}{7}\) 时取到等号，故所求最小值为 \(16\) .

将常数替换为相等的变量，为顺利使用均值不等式创造条件，但是这一逆向思维，我们往往是比较欠缺的。

【2019届宝鸡市高三理科数学二轮资料用题】【2018江西南昌二模】在三角形\(\triangle ABC\)中，\(A=\cfrac{\pi}{6}\)，\(S_{\triangle ABC}=2\)，则\(\cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+\cfrac{sinB}{sinC}\)的最小值为【】

$A.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $B.\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$ $C.\cfrac{3}{2}$ $D.\cfrac{5}{3}$

分析：由题目易知\(bc=8\)，又所求可以用角化边转化为\(\cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+\cfrac{sinB}{sinC}=\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}\)；

法1：接下来，可以考虑\(b=\cfrac{8}{c}\)，代入上式，将二元函数转化为一元函数，但尝试后思路卡壳，故思维需要转向；

法2：令\(\cfrac{b}{c}=t\)，原式=\(\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}=\cfrac{2}{1+2\cdot \frac{b}{c}}+\cfrac{b}{c}\)，

\(=\cfrac{2}{1+2t}+t=\cfrac{2}{1+2t}+\cfrac{1}{2}(1+2t)-\cfrac{1}{2}\)

\(=\cfrac{2}{1+2t}+\cfrac{1+2t}{2}-\cfrac{1}{2}\ge 2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)

当且仅当\(\cfrac{2}{1+2t}=\cfrac{1+2t}{2}\)，即\(t=\cfrac{1}{2}\)时，即\(b=2\)，\(c=4\)时取到等号；

法3：为能用上\(bc=8\)，需要将表达式做相应的变形，且\(c^2=\cfrac{64}{b^2}\)

原式=\(\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}=\cfrac{2bc}{b(c+2b)}+\cfrac{bc}{c^2}\)

\(=\cfrac{2\times 8}{8+2b^2}+\cfrac{8}{c^2}==\cfrac{16}{8+2b^2}+\cfrac{b^2}{8}\)

\(=\cfrac{8}{4+b^2}+\cfrac{b^2}{8}=\cfrac{8}{4+b^2}+\cfrac{b^2+4}{8}-\cfrac{1}{2}\)

\(\ge 2\sqrt{\cfrac{8}{4+b^2}\cdot \cfrac{4+b^2}{8}}-\cfrac{1}{2}=2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)

当且仅当\(b=2\)，\(c=4\)时取到等号，故所求的最小值为\(\cfrac{3}{2}\)，故选\(C\)。

已知\(f(n)=\cfrac{1}{n}+\cfrac{9}{6-n}\)，\(n\in N^*\)，求\(f(n)\)的最小值和最小值点。

分析：当\(n=2\)时，\(f(n)_{min}=2.75\). 均值不等式使用的另外一个[走向]

【2017\(\cdot\)陕西西安质检】已知实数\(x，y\)满足\(x>y>0\)，且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ，则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.

分析：换元法，令 \(x+3y=s>0\)，\(x-y=t>0\)，

求解上述以 \(x，y\) 为元的方程组，得到 \(x=\cfrac{s+3t}{4}\)；\(y=\cfrac{s-t}{4}\)；

由\(x+y=\cfrac{1}{2}\)，将上述结果代入得到\(s+t=1\)，

故此时题目转化为"已知 \(s+t=1\) ，\(s，t>0\) ，求 \(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\) 的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\ge 3+2\sqrt{2}\)

(当且仅当 \(\cfrac{2t}{s}=\cfrac{s}{t}\)，即 \(s+t=1\) 时取到等号)

【2020\(\cdot\)遂宁质检】已知 \(x\)，\(y\)，\(a\) 均为正实数，则 \(\cfrac{y}{x}+\cfrac{25x}{3x+y}+a^2-2a+4\) 的最小值为__________.

解析：由于 \(x\)，\(y\)，\(a\) 均为正实数，令\(\cfrac{y}{x}=t\)，则\(y=tx\)，代入得到

\(\cfrac{y}{x}+\cfrac{25x}{3x+y}+a^2-2a+4=t+\cfrac{25x}{3x+tx}+(a-1)^2+3\)

\(=t+\cfrac{25}{t+3}+(a-1)^2+3=(t+3)+\cfrac{25}{t+3}+(a-1)^2+3-3\)

\(=(t+3)+\cfrac{25}{t+3}+(a-1)^2\geqslant 2\sqrt{25}=10\)，

当且仅当\(t=2\)，即\(y=2x\)且\(a=1\)时取到最小值 \(10\).