累乘法

前情概要

累乘法，顾名思义，就是多次相乘的意思。求通项公式题型中，如果给定条件最终可以转化为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式，或者可以转化为\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)\)的形式，则我们就可以考虑使用累乘法求通项公式。

注意事项

①由已知的原始表达式衍生出\(n-1\)个同结构的表达式，其前提条件为\(n\ge 2\)，但是求积时只需要这\(n-1\)个表达式，不用原始表达式参与求和，等号左端约分消项的结果往往是\(\cfrac{a_n}{a_1}\)，右端约分可消项，故可以求积；同时注意对\(n=1\)的条件的验证。

②等号两端的约分的方向有可能不一样，比如左端是从左下到右上约分，右端可能就变化为从右上到左下约分，注意思维的灵活性。

③注意每一个衍生式子的下标与上标的联系，以防止写错。

适用类型

累乘法主要适用于以下情形：

①\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)(\(q\)为常数)；

②\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)为变量)；

③能转化为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)为变量)；

方法介绍

已知正项数列\(\{a_n\}\)的\(a_1=1\)，\((n+1)a_{n+1}-na_n=0\)，求数列的通项公式。

解法1️⃣：累乘法，变形为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}\)，由此式子可得到

\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n}， \]

\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n-1}， \]

\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-2}， \]

\[\cdots，\cdots， \]

\[\cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{1}{2}， \]

以上\(n-1\)个式子你可以从上述居中对齐的所有等式的左边的分母下标计数是 \(n-1\) 个，也可以从上述所有等式的左边的分子下标计数也是 \(n-1\) 个，还可以从上述所有等式的右边的分母计数是 \(n-1\) 个，或从上述所有等式的右边的分子计数是 \(n-1\) 个，相乘得到，当\(n\ge 2\)时，

\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-2}{n-1} \cdot\cfrac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cfrac{1}{2} \]

对上式进行约分，如图所示，

\(\require{enclose}\)

\[\cfrac{a_n}{\enclose{updiagonalstrike}{a_{n-1}}}\cdot\cfrac{\enclose{updiagonalstrike}{a_{n-1}}}{\enclose{updiagonalstrike}{a_{n-2}}}\cdot \cfrac{\enclose{updiagonalstrike}{a_{n-2}}}{\enclose{updiagonalstrike}{a_{n-3}}}\cdot \cdots \cfrac{\enclose{updiagonalstrike}{a_{2}}}{a_1}=\cfrac{\enclose{downdiagonalstrike}{n-1}}{n}\cdot\cfrac{\enclose{downdiagonalstrike}{n-2}}{\enclose{downdiagonalstrike}{n-1}} \cdot\cfrac{\enclose{downdiagonalstrike}{n-3}}{\enclose{downdiagonalstrike}{n-2}}\cdot \cdots\cfrac{1}{\enclose{downdiagonalstrike}{2}} \]

整理即得到，\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{1}{n}\)，故\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\ge 2)\)，

当\(n=1\)时，\(a_1=1\)满足上式，故所求通项公式\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。

解后反思：

①用累乘法也可以求等比数列的通项公式，有点大材小用之嫌；

②累乘法尤其适用于比值不是相等即变化的情形，比如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的情形。

③求解形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)时，表达式\(f(n)\)必须有可乘性。

比如，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}=f(n)\)，此时右端可以用累乘相消简化结果。

但是像这样的情形，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=n^2+2n=f(n)\)，此时右端就不具有可乘性[用现有的方法不能求解其乘积的结果]，不能使用这个方法。

④你必须意识到不是所有形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式都可以使用累乘法求通项公式。

解法2️⃣：如果你对数列\(a_{n+1}-a_n=d\)中的\(a_n\)类的内涵理解的比较深刻，那么本题目还可以这样求解，

由已知容易知道数列\(\{na_n\}\)是首项为1，公差为0的等差数列，

故\(na_n=1+(n-1)\cdot 0\)，即\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。

典例剖析

在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3S_{n}=(n+2)a_n\)，求\(a_n\)=_____________。

提示：本题目属于\(S_n=f(n，a_n)\)且直接求解\(a_n\)的形式；

当\(n\geqslant 2\)时，\(3S_{n-1}=(n+1)a_{n-1}\)，

两式作差得到，\(3(S_n-S_{n-1})=3a_n=(n+2)a_n-(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，

整理为\((n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，即

\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n+1}{n-1} \]

由上式衍生出以下式子：

\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n}{n-2} \]

\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-1}{n-3} \]

\[\cdots，\cdots，\cdots \]

\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{4}{2} \]

\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{3}{1} \]

以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，

\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n+1}{n-1}\times \cfrac{n}{n-2}\times \cfrac{n-1}{n-3}\times \cdots\times\cfrac{4}{2}\times\cfrac{3}{1} \]

约分后整理为

\[\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{(n+1)n}{2\times 1}(n\geqslant 2) \]

即\(a_n=\cfrac{(n+1)n}{2}(n\geqslant 2)\)，

当\(n=1\)时，\(a_1=1=\cfrac{(1+1)\times1}{2}\)，故满足上式，

即所求通项公式为\(a_n=\cfrac{n(n+1)}{2}(n\in N^*)\).

对应练习

在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，求\(a_n\)=_____________。

提示：由\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+2}\)

则当\(n\geqslant 2\)时，

\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n+1} \]

\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n} \]

\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-1} \]

\[\cdots，\cdots，\cdots \]

\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{2}{4} \]

\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3} \]

以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，

\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n-1}{n+1}\times \cfrac{n-2}{n}\times\cfrac{n-3}{n-1} \times \cdots \times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{1}{3} \]

约分整理得到，当\(n\geqslant 2\)时，\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{2\times 1}{(n+1)n}\)

即\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\geqslant 2)\)，

再验证\(n=1\)时，\(a_1=1=\cfrac{2}{1\times (1+1)}\)，满足上式，

故所求通项公式为\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\in N^*)\)，

在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，求\(a_n\)=_____________。

分析：由\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{(n+1)^2}{3\cdot n^2}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n+1)^2}{n^2}\)

则当\(n\geqslant 2\)时，

\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2} \]

\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2} \]

\[\cdots，\cdots，\cdots \]

\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{3^2}{2^2} \]

\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{2^2}{1^2} \]

以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，

\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \times\cdots \times\cfrac{a_{3}}{a_{2}} \times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=(\cfrac{1}{3})^{n-1}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2}\times \cdots \times\cfrac{3^2}{2^2} \times\cfrac{2^2}{1^2} \]

则\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)，即\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)

再验证\(n=1\)时，\(a_1=1\)，\(\cfrac{1^2}{3^{1-1}}=1\)，满足上式，

故所求通项公式为\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\in N^*)\).

已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\cfrac{a_n}{n+1}=\cfrac{-a_{n+1}}{2n}\)，且 \(a_1=1\)，数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=na_n\)，证明：数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列；

法1：变形为 \((n+1)a_{n+1}=-2na_n\)， 即 \(b_{n+1}=-2b_n\)，

由于 \(b_1=a_1\neq 0\)，故 数列 \(\{b_n\}\) 是首项为 \(1\)，公比为 \(-2\) 的等比数列；

法2：变形为 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=(-2)\times \cfrac{n}{n+1}\)，可以考虑采用累乘法；

【2020 \(\cdot\) 天津模拟】已知在正项数列 \(\{a_{n}\}\) 中， \(a_{1}=1\) ， \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，\(n\in{N}_{+}\)， 则它的通项公式为【\(\qquad\)】

\(A.a_{n}=\cfrac{1}{n+1}\) \(B.a_{n}=\cfrac{2}{n+1}\) \(C.a_{n}=\cfrac{n+1}{2}\) \(D.a_{n}=n\)

解析: 由 \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，两边同除以 \(a_n^2\)，整理得到，

得 \((n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0\)，

令 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t\)， 因式分解得到，\(\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}\)

\((\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)\bigg[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)\bigg]=0\)，

因为 \(\{a_{n}\}\) 是正项数列，所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0\)，

所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}\)，

则 \(a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}\)

\(=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1\)

\(=\cfrac{2}{n+1}\). 故选 \(B\).