区分概率中的事件关系

前言

概率题目中，涉及到的事件比较多，关系复杂，如何区分这些事件的关系，对成功解决概率问题至关重要。

区分角度

• 互斥事件和对立事件

以掷骰子试验为例，向上的点数为1记为事件\(A\)，向上的点数为2记为事件\(B\)，向上的点数为奇数记为事件\(C\)，向上的点数为偶数记为事件\(D\)，

关系：\(A\)与\(B\)互斥关系；包含关系：\(A\subseteq C\)；对立关系：\(C\)与\(D\)是对立关系；

判断方法：若事件\(A\)发生时，事件\(B\)必然不能发生，若事件\(B\)发生时，事件\(A\)必然不能发生，则事件\(A\)与\(B\)是互斥关系；

若事件\(A\)发生时，事件\(B\)必然不能发生，若事件\(A\)不发生时，事件\(B\)必然发生，则事件\(A\)与\(B\)是对立关系；

• 互斥事件和独立事件

这两个概念本是不必区分的，但实践中还是容易出错；想象有一个\(n\)层的书架，互斥事件就是同一层书架上的几本书之间的关系，互斥或对立。独立事件指的就是不同书架之间的几本书的关系；

判断方法：若事件\(A\)发生时，事件\(B\)必然不能发生，若事件\(B\)发生时，事件\(A\)必然不能发生，则事件\(A\)与\(B\)是互斥关系；若事件\(A\)的发生与否并不能决定事件\(B\)的发生与否，则事件\(A\)与\(B\)是相互独立关系；如果事件\(A\)、\(B\)相互独立，则事件\(A\)、\(B\)必然不互斥。

• 独立事件和独立重复试验

10个射手，射击水平各不相同，则他们射中目标的概率各自都不相同，那么各自射击一次，就只是按照相互独立事件处理；若10个射手射击水平完全相同，其效果就像是一个高水平的射手连续射击10次，这时候就可以抽象为做了10次独立重复试验。

• 独立事件和二项分布

承接上例，10个射击水平各不相同的射手各自射击一次，其击中目标的概率只能按照相互独立事件的概率乘法公式计算；但若是10个射击水平相同的射手各自射击一次，其击中目标的概率既可以按照相互独立事件的概率乘法公式计算，当然还可以用更简便的方法(乘方是乘法的简便运算)，即二项分布的概率计算公式来计算。

典例剖析

甲、乙、丙三个射手打靶，其击中靶心的概率分别为0.6，0.7，0.8，则三个人各打靶一次，

分析：令甲、乙、丙三人击中靶心，分别为事件\(A\)，\(B\)，\(C\)，则\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.7\)，\(P(C)=0.8\)，且\(P(\bar{A})=0.4\)，\(P(\bar{B})=0.3\)，\(P(\bar{C})=0.2\)，且事件\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，且事件\(\bar{A}\)，\(\bar{B}\)，\(\bar{C}\)等等相互独立。

①三人都击中靶心的概率为多少？

分析：令“三人都击中靶心”为事件\(D\)，则\(D=ABC\)，$P(D)=P(A)P(B)P(C)=0.6\times 0.7\times 0.8=\cdots $

②无人击中靶心的概率为多少？

分析：令“三人都没有击中靶心”为事件\(E\)，则\(E=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)，$P(E)=P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=0.4\times 0.3\times 0.2=\cdots $

③仅有一个人击中靶心的概率为多少？

分析：令“三人中仅有一人击中靶心”为事件\(F\)，则\(F=A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C\)，

\(P(F)=P(A\bar{B}\bar{C})+P(\bar{A}B\bar{C})+P(\bar{A}\bar{B}C)\)

\(=0.6\times 0.3\times 0.2+0.4\times 0.7\times 0.2+0.4\times 0.3\times 0.8=\cdots\)

甲、乙、丙三个射手打靶，其击中靶心的概率分别为0.7，0.7，0.7，则三个人各打靶一次，

分析：三个人各打靶一次，由于三人击中靶心的概率都是0.7，相当于做了三次独立重复试验，设击中靶心的次数为\(X\)，则\(X\sim B(3，0.7)\)，且\(P(X=k)=C_3^k\cdot 0.7^k\cdot (1-0.7)^{3-k}\)，\(k=0，1，2，3\)，

①三人都击中靶心的概率为多少？

分析：\(P(X=3)=C_3^3\cdot 0.7^3\cdot (1-0.7)^{3-3}=0.7^3\)，

②无人击中靶心的概率为多少？

分析：\(P(X=0)=C_3^0\cdot 0.7^0\cdot (1-0.7)^{3-0}=0.3^3\)，

③仅有一个人击中靶心的概率为多少？

分析：\(P(X=1)=C_3^1\cdot 0.7^1\cdot (1-0.7)^{3-1}=3\times 0.7\times0.3^2\)，

若事件\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，且\(P(A)=0.25\)，\(P(B)=0.50\)，\(P(C)=0.40\)，则\(P(A+B+C)\)等于【】

$A、0.80$ $B、0.15$ $C、0.55$ $D、0.775$

分析：由于事件\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，则事件\(A+B+C\)表示事件\(A\)发生，或事件\(B\)发生，或事件\(C\)发生，即事件\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少有一个发生，其对立面是一个都没有发生，

故\(P(A+B+C)=1-P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\cdot P(\bar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)]\)

\(=1-0.225=0.775\)，故选\(D\)。

• 用加号相连的事件之间的关系，一般是互斥的，但也有其他的关系，比如本题目。

常见刻画

[网摘整理]\(A\)，\(B\)，\(C\)是试验\(E\)的随机事件，则下列事件的刻画；

①\(A\)发生：\(A\)；

②只有\(A\)发生：\(A\bar{B}\bar{C}\)；

③\(A\)，\(B\)，\(C\)恰有一个发生：\(A\bar{B}\bar{C}\)+\(\bar{A}B\bar{C}\)+\(\bar{A}\bar{B}C\)；

④\(A\)，\(B\)，\(C\)同时发生：\(ABC\)；

⑤\(A\)，\(B\)，\(C\)至少有一个发生：\(A+B+C\)；

⑥\(A\)，\(B\)，\(C\)至多有一个发生：\(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)+\(A\bar{B}\bar{C}\)+\(\bar{A}B\bar{C}\)+\(\bar{A}\bar{B}C\)；

⑦\(A\)，\(B\)，\(C\)恰有两个发生：\(AB\bar{C}\)+\(A\bar{B}C\)+\(\bar{A}BC\)；

⑧\(A\)，\(B\)，\(C\)至少两个发生：\(AB\bar{C}\)+\(A\bar{B}C\)+\(\bar{A}BC\)+\(ABC\)；

[网摘整理]采用不放回的方式抽查产品三次，\(A_i(i=1,2,3)\)表示第\(i\)次抽取得到合格品；

①三次都合格：\(A_1A_2A_3\)；

②至少一次合格：\(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3\)+\(A_1A_2\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}A_3\)+\(\bar{A_1}A_2A_3\)+\(A_1A_2A_3\)；

③恰有两次合格：\(A_1A_2\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}A_3\)+\(\bar{A_1}A_2A_3\)；

④至多一次合格：\(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3\)；