破解概率求解的策略
具体说明破解概率求解的策略。
前言
能力储备
- 事件的关系辨析
只有区别清楚事件的关系，才能确定事件之间该用何种运算符号。如何辨析事件关系
- 事件的拆分
具体指能将复杂事件拆分为几个比较简单事件的和事件或者积事件，所用到的事件有互斥事件(常用和事件)，相互独立事件(常用积事件)，对立事件(和差运算)。
需要注意
- 解决概率问题要注意“三个步骤，三个结合，几点经验”：
⑴三个步骤：
①先确定事件的性质，是古典概型事件、互斥事件、相互独立事件、或\(n\)次独立重复试验中的哪一种，
②判断事件的运算，应该是和事件还是积事件，即是至少有一个发生\((A+B)\)，还是同时发生\((AB)\)，分别运用相加或相乘运算。
③运用相应的公式求解
古典概型：\(P(A)=\cfrac{m}{n}\)
互斥事件：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)，P(AB)=0\)
相互独立事件：\(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\)
\(n\)次独立重复试验：\(P_n(k)=P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)，\((k=0，1，2，\cdots，n)\)
⑵关联结合
- 概率问题常常与排列组合问题相结合；常常与超几何分布，二项分布结合；复杂题目中常常有古典概型，互斥事件概型，相互独立概型等。
- 对于抽样问题，要特别注意放回和不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式球随机变量对应的概率，放回抽样由分布计数原理求随机变量对应的概率。
⑶几点经验：
①先定义出要求解的事件，
②然后再读题目，再作剖析，最好是能找出题目中的最基本的事件，
③接下来自然就是分析这些最基本的事件的关系(互斥或独立)，用这些基本事件来组合得到一开始定义的事件(就像用零件拼搭能一个完整的物体)，
④最基本的事件的概率求解一般都用到古典概型，
⑤再利用相关的概率公式求解即可。
- 注意：涉及到离散型随机变量的分布列时，也需要计算概率，常用的分布是超几何分布和二项分布。
常见考向
有关概率的计算：
- 几何概型；
- 古典概型(二项分布，超几何分别)；
- 互斥事件的概率加法公式，两对立事件的概率之和为1；
- 正态分布；
- 条件概率；
基于概率统计的决策
- 小概率事件原理
案例说明
由于本题目的复杂性，我们不得不将问题条分缕析，直到分解为每一个基本事件为止，故本题目很能说明引入事件的必要性
分析：例说如何拆分一个复杂事件？求红队至少两名队员获胜的概率；
从正面分析，红队至少两人获胜，分以下两种情形：其一，只有两人获胜；其二，有三人获胜；
先拆分情形一：甲乙胜丙败，甲丙胜乙败，乙丙胜甲败；情形二：甲乙丙获胜；这两种情形列举的情况是并列的；
接下来，再拆分“甲乙胜丙败”，这涉及到如何刻画甲、乙、丙三人的胜利和失败，需要定义基本事件和其对立事件；
接下来考虑，如何刻画甲乙胜丙败？即“甲胜且乙胜且丙败”，需要利用积事件和相互独立事件；
接下来再分析，如何刻画“甲乙胜丙败”，“甲丙胜乙败”，“乙丙胜甲败”和“甲乙丙获胜”这四种情形？需要用到互斥事件；
到此，整个题目的要求我们就算分析清楚了，接下来求解即可。求解如下：
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
分析：设甲胜\(A\)的事件为\(D\)，乙胜\(B\)的事件为\(E\)，丙胜\(C\)的事件为\(F\)，则\(\bar{D}\)、\(\bar{E}\)、\(\bar{F}\)分别表示甲不胜\(A\)、乙不胜\(B\)、丙不胜\(C\)的事件．
因为\(P(D)＝0.6\)，\(P(E)＝0.5\)，\(P(F)＝0.5\)，由对立事件的概率公式知\(P(\bar{D})＝0.4\)，\(P(\bar{E})＝0.5\)，\(P(\bar{F})＝0.5\)，
红队至少两人获胜的事件有：\(\bar{D}EF\)，\(D\bar{E}F\)，\(DE\bar{F}\)，\(DEF\)，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
\(P＝P(\bar{D}EF)+ P(D\bar{E}F)+P(DE\bar{F})+P(DEF)\)
\(=P(\bar{D})\cdot P(E)\cdot P(F)+P(D)\cdot P(\bar{E})\cdot P(F)+P(D)\cdot P(E)\cdot P(\bar{F})+P(D)\cdot P(E)\cdot P(F)\)
\(＝0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5＝0.55\).
法2：间接法，先计算只有一名队员获胜，或三个队员都失败的概率，然后用对立事件求解。
\(P=1-P(D\bar{E}\bar{F})-P(\bar{D}E\bar{F})-P(\bar{D}\bar{E}F)-P(\bar{D}\bar{E}\bar{F})\)
\(=1-0.6\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 =0.55\)
(2)用\(\xi\)表示红队队员获胜的总盘数，求\(\xi\)的分布列.
分析：由题意知\(\xi\)的可能取值为 0，1，2，3；
又由(1)知\(\bar{D}\bar{E}F\)，\(\bar{D}E\bar{F}\)，\(D\bar{E}\bar{F}\)是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．
因此\(P(\xi＝0)＝P(\bar{D}\bar{E}\bar{F})＝0.4×0.5×0.5＝0.1\)，
\(P(\xi＝1)＝P(\bar{D}\bar{E}F)+P(\bar{D}E\bar{F})+P(D\bar{E}\bar{F})\)
\(＝0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5＝0.35\).
\(P(\xi＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15\).
由对立事件的概率公式得\(P(\xi＝2)＝1－P(\xi＝0)－P(\xi＝1)－P(\xi＝3)＝0.4\).
所以\(\xi\) 的分布列为
| \(\xi\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(0.1\) | \(0.35\) | \(0.4\) | \(0.15\) |
【反思归纳】 概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决的目的。
