为什么要建立概率模型 | 兼说思维提升
我们建立的概率模型越精炼，则解题过程越简单。
前情概要
以下的内容基本上都来自于北师大版本的原版教材，经过 OCR 技术，复制到了博客园中，这样做就是感觉这一节的内容太重要了，而且学生大多都感受不到这一点：解决古典概率问题，往往是基于某个确定的概率模型展开的。同一个问题的概率模型还可以不一样，不是固定的。在解决古典概型问题时，确定的基本事件个个数越少，模型越精炼，则解题过程越简单。以下举例说明[括号内是编辑自己的理解和注释]：
模型案例
在掷一粒均匀骰子的试验中[这个试验简单又重要，需要我们深刻理解把握，把它当成一个模板来对待。在概率的学习中，还有其他的比较重要的模型，比如掷硬币试验，掷正四面体的骰子试验等等]，如果考虑向上的点数是多少，那么出现 \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) , \(5\) , \(6\) 中任何一个的可能性都是 \(\dfrac{1}{6}\)；如果考虑向上的点数是奇数还是偶数，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”。这两个结果是等可能出现的，因此它们出现的概率都是 \(\dfrac{1}{2}\)[其实，等到古典概型的学习到了一定的层次，你就会理解，这个结果实际上是将前一种的三个基本事件给压缩而得到的，其结果之所以是这样的原因是 \(\dfrac{1}{2}\)\(=\)\(\dfrac{1}{6}\)\(+\)\(\dfrac{1}{6}\)\(+\)\(\dfrac{1}{6}\)]。
一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）是人为规定的【以前在我学习的时候，我记得定义的基本事件是指已经拆分到不能拆分的事件才叫基本事件，这种定义的好处是学生好理解，但是不利于思维的提升】。我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现【此处类比集合来理解，基本事件的并集应该是全集，基本事件的交集应该是空集】。例如，掷一粒均匀的骰子时，根据问题的需要，可以认为有 \(6\) 个结果【向上的点数是 \(1\)，向上的点数是 \(2\)， \(\cdots\) \(\cdots\)，向上的点数是 \(6\)】，也可以认为只有 \(2\) 个结果【向上的点数是奇数，向上的点数是偶数】。只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型。
对上述的同样的试验再做延申思考，在掷一粒均匀骰子的试验中，还可以建立概率模型【基本事件的个数为 \(3\) 个的概率模型，当然此处你不能想为，我想要几个结果都可以，这个太想当然了，应该有个等可能在这里卡着，有些情形是不满足这个条件的】，使得每一个结果出现的概率都是 \(\dfrac{1}{3}\)。例如，可以把这个骰子的 \(2\) 个面涂上黑色，另 \(2\) 个面涂上红色，剩下 \(2\) 个面涂上蓝色，则 “向上的面是黑色”、“向上的面是红色” 和 “向上的面是蓝色” 出现的概率都是 \(\dfrac{1}{3}\)。你还有别的方法吗？
对于同一个随机试验[比如掷均匀的正方体骰子]，可以根据需要，建立满足我们要求的概率模型[结果可以是6个，可以是2个，也可以是3个，当然必须先满足等可能性；此时往往会自然的区分出来不同学生的思维层次的高低来]。
下面，我们用 四个不同的古典概型 给出四种不同的解法。
【模型1】【思维层次最低，也最容易理解，最容易想到】 我们只需找出 \(4\) 个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数。为此考虑用列举法列出所有可能结果。
用 \(A\) 表示事件“第二个人摸到白球”。把 \(2\) 个白球编上序号 \(1\)，\(2\)；\(2\) 个黑球也编上序号 \(1\)，\(2\)【两个相同颜色的白球或黑球，当标注序号以后，自然就有了顺序，其实就成了排列问题】。于是，\(4\) 个人按顺序依次从袋中摸出\(1\) 个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来（如图3-11）。【当然也可以改为另外一种刻画方法，比如其中的一种结果，老师有时候会写成这样的形式 白1白2黑1黑2，和树状图的结果一样的，但树状图更直观】
树状图是进行列举的一种常用方法。从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果为 \(24\)。由于口袋内的 \(4\) 个球除颜色外完全相同，因此，这 \(24\) 种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型。在这 \(24\) 种结果中，第二个人摸到白球的结果有 \(12\) 种，因此“第二个人摸到白球”的概率\(P(A)\) \(=\) \(\dfrac{12}{24}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\)，这与第一节的模拟结果是一致的。
【模型2】【思维层次爬坡了，思维的角度变化了，不太容易想到】 因为是计算 “第二个人摸到白球” 的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况【这样情形一下子就简化多了，把一半的工作量不见了】。前两人依次从袋中摸出 \(1\) 个球的所有可能结果可用树状图列举出来（如图3-12）。
从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为 \(12\)，因为口袋里的 \(4\) 个球除颜色外完全相同，因此，这 \(12\) 种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型。在上面 \(12\) 种结果中，第二个人摸到白球的结果有 \(6\) 种，因此“第二个人摸到白球”的概率 \(P(A)\) \(=\) \(\dfrac{6}{12}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\)，这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型【思维的层次越高，模型越简单，平时一定要有意识的锤炼我们的数学思维，提升我们的数学素养】。
【模型3】【思维层次再次提升，抽象性越来越高，不容易理解了，再次转换视角】还可以从另外一个角度来考虑这个问题。因为口袋里的 \(4\) 个球除颜色外完全相同，因此，可以对 \(2\) 个白球不加区别，对 \(2\) 个黑球也不加区别【此时对球不加编号，其实就是组合问题了】，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到本题目的第三种解法。
只考虑球的颜色， \(4\) 个人按顺序依次从袋中摸出 \(1\) 个球的所有可能结果可用树状图列举出来【其中的一种结果就可以表示为，如白黑白黑】（如图3-13）。
这样，此试验的所有可能结果数就为 \(6\) ，并且这 \(6\) 种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型。在这 \(6\) 种结果中，第二个人摸到白球的结果有 \(3\) 种，因此“第二个人摸到白球”的概率 \(P(A)\) \(=\) \(\dfrac{3}{6}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\)，受此启发，下面再给出一种更为简单的解法。
【模型4】【思维层次次高，也最不容易理解，更不容易想到，视角再次转换】只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这 \(4\) 个球中的任何一个，这 \(4\) 种结果出现的可能性是相同的。第二个人摸到白球的结果有 \(2\) 种，因此“第二个人摸到白球”的概率 \(P(A)\) \(=\) \(\dfrac{2}{4}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\)， 有兴趣请参阅转换视角的更多例子 .
【模型5】【静雅斋自编模型，受此启发，将模型4也压缩，思维层次最高，也最不容易理解，更不容易想到，视角再次转换】只考虑第二个人摸出的球的情况，由于 \(2\) 个白球， \(2\) 个黑球，个数相等，对称的，故可以将两个白球压缩看成 \(1\) 个白球，将两个黑球压缩看成 \(1\) 个黑球，这样他可能摸到这 \(2\) 个球中的任何一个，这 \(2\) 种结果出现的可能性是相同的。第二个人摸到白球的结果有 \(1\) 种，因此“第二个人摸到白球”的概率 \(P(A)\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) .
抽象概括
(1) 从以上 \(4\) 种解法中，我们分别规定了不同的结果作为基本事件【是人为规定的，不是固定不变的，随题目随人会变化】，只要我们在模型中规定了有限个基本事件，并且它们发生是等可能的【这也是如何建立古典概型的原则和方法】，都是古典概型的问题。
(2) 这个问题说明不论第几次摸球，摸到白球的概率都是 \(\dfrac{1}{2}\)，即抽签与顺序无关。也说明统计中的简单随机抽样可以保证每一个样本被抽到的概率是相同的。
思考交流
计算第 \(k\) (\(k\) \(=\) \(1\) , \(3\) , \(4\)) 个人摸到白球的概率。得到的结果说明什么问题？
这是原教材中提出的问题，我估计好多学生不太注意思考这个问题，其实思考完成它，正是对例题的理解内化为我们能力的好时机和好抓手，遗憾的是大家不重视。总感觉老师讲的更好，那你也不想想，这是在全国范围内发行的教材，教材编辑人的专业程度肯定是有国家保障的。不是随随便便一个人就能胜任的了的。
我只做 \(k=4\)，依托模型1，所有基本事件的个数为 \(24\)，有限等可能，属于古典概型，其中第 \(4\) 个人摸到白球的事件有 \(12\) 个，故 \(P(A)=\dfrac{1}{2}\) 。其他的情形你们自己具体过一遍，确实能强化理解。等到所有的情形都过完了，你自然会真真切切的感受到：抽签与顺序无关。也说明统计中的简单随机抽样可以保证每一个样本被抽到的概率是相同的。
典例剖析
分析：4把钥匙分别标记为\(K_1\)，\(K_2\)，\(N_1\)，\(N_2\)，
[法1️⃣]：此人依次取4把钥匙做排列共有以下情形：\((N_1，K_1，K_2，N_2)\)、\((N_1，K_1，N_2，K_2)\)、\((N_1，K_2，K_1，N_2)\)、\((N_1，K_2，N_2，K_1)\)、\((N_1，N_2，K_1，K_2)\)、\((N_1，N_2，K_2，K_1)\)、\((N_2，K_1，K_2，N_1)\)、\((N_2，K_1，N_1，K_2)\)、\((N_2，K_2，K_1，N_1)\)、\((N_2，K_2，N_1，K_1)\)、\((N_2，N_1，K_1，K_2)\)、\((N_2，N_1，K_2，K_1)\)，以及\(K_1\)开头的6个和\(K_2\)开头的6个，共计24种，其中第二次才能打开门的情形只在列举出来的12种里面，占有8种，故所求概率为\(P=\cfrac{8}{24}=\cfrac{1}{3}\).
[法2️⃣]：如果只关注前两次取出钥匙，则共有12次：\((N_1，K_1)\)、\((N_1，K_2)\)、\((N_1，N_2)\)、\((N_2，K_1)\)、\((N_2，K_2)\)、\((N_2，N_1)\)、\((K_1，N_1)\)、\((K_1，N_2)\)、\((K_1，K_2)\)、\((K_2，N_1)\)、\((K_2，N_2)\)、\((K_2，K_1)\)，其中第二次才能打开门的情形有4种，故所求概率为\(P=\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}\).
[法3️⃣]：如果不关注钥匙的次序，只关注能否打开，则相当于从\(K、K、N、N\)四把钥匙中取，共有以下6种情形，\((N，K，K，N)\)、\((N，K，N，K)\)、\((N，N，K，K)\)、\((K，K，N，N)\)、\((K，N，K，N)\)、\((K，K，N，K)\)，其中第二次才能打开门的情形有2种，故所求概率为\(P=\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}\).
[法4️⃣]：第一次取出的钥匙没有打开门，如果只考虑第二次取出钥匙的情形，则第二次只能取到剩余3把钥匙里的任何一把，其中能打开门的钥匙有2种，【未完，待思考】
1.本题目怎么看着都应该能用条件概率解决呀？不能，\(P(B|A)\)\(=\)\(\cfrac{P(AB)}{P(A)}\)\(=\)\(\cfrac{n(AB)}{n(A)}\)，意思是要做成 \(A\) 发生的条件下 \(B\) 发生的概率，必修满足事件 \(A\) 的所有结果包含事件 \(B\) 的所有结果。不是简单的题目中有“在······条件下”就是条件概率。
2.基本事件的选取角度不一样，则实验中的基本事件数目就不一样，大家应该能看到，解决的难度也是不一样的。
法1分析：使用古典概型求解，由于甲获胜的所有情形为\((2，1)\)，\((2，1)\)，\((2，0)\)，\((2，0)\)，\((1，0)\)，共有5种，
其中在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的情形为\((2，1)\)，\((2，1)\)，有2种，
令“在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1”为事件\(A\)，则\(P(A)=\cfrac{2}{5}\)，故选\(D\)。
法2分析：使用条件概率求解，令“甲获胜”为事件\(A\)，“乙摸出的球上的数字为1”为事件\(B\)，则所求为\(P(B|A)\)；
由于甲、乙都从4个球中分别取出1个球，故所有情形有\(4\times 4=16\)种，则甲获胜的情形有\((2，1)\)，\((2，1)\)，\((2，0)\)，\((2，0)\)，\((1，0)\)，共有5种，故\(P(A)=\cfrac{5}{16}\)，
而事件\(AB\)即“甲获胜且乙摸出的球上的数字为1”的情形有\((2，1)\)，\((2，1)\)，有2种，即\(P(AB)=\cfrac{2}{16}\)，
由条件概率的计算公式可得，\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{2}{16}}{\frac{5}{16}}=\cfrac{2}{5}\)。
解后反思：①古典概型求解该题目，其实就是压缩了样本空间；②能用条件概率求解的题目是否都可以用古典概型；
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