古典概型习题

【2018江南十校联考】已知集合\(M=\{1，2，3\}\)，\(N=\{1，2，3,4\}\)，定义映射\(f： M\rightarrow N\)，则从中任取一个映射满足由点\(A(1，f(1))\)，\(B(2，f(2))\)，\(C(3，f(3))\)构成\(\triangle ABC\)且\(AB=BC\)的概率为【】

$A.\cfrac{3}{32}$ $B.\cfrac{5}{32}$ $C.\cfrac{3}{16}$ $D.\cfrac{1}{4}$

分析：由映射\(f： M\rightarrow N\)可知，所有的情形有\(4^3=64\)个，到此我们知道是古典概型，且其分母为64，难点是分析和计算分子。先做出如下图的点阵，

由于点\(A，B，C\)只能分别取自第一、二、三列，若点\(A\)取\((1，1)\)，点\(C\)取\((3，2)\)，则不论点\(B\)取自第二列的哪一个点，都不能构成等腰三角形，故必须先满足\(f(1)=f(3)\)，且此时\(f(2)\)和\(f(1)\)与\(f(3)\)不能处在同一行。

当\(f(1)=f(3)=1\)时，即点\(A\)和点\(C\)处于第一行时，点\(B\)只能是\((2，2)\)，\((2，3)\)，\((2，4)\)，有3种可能；

而\(f(1)=f(3)\)所有能取的值为\(1，2，3，4\)，有4种可能，故构成的等腰三角形共有\(4\times3=12\)种，

由古典概型求解公式可知，\(P=\cfrac{12}{64}=\cfrac{3}{16}\)，故选\(C\)。

【2019凤翔中学理科数学二轮资料限时训练5第13题】从\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，\(9\)中任取两个不同的数，分别记为\(m\)，\(n\)，则"\(log_mn>0\)"的概率为______。

分析：从6个数中任取2个数，共有\(A_6^2=30\)种等可能结果，

当\(m，n\in (0，1)\)时，有\(A_2^2=2\)种，

当\(m，n\in (1，+\infty)\)时，有\(A_4^2=12\)种，

故所求概率为\(P=\cfrac{14}{30}=\cfrac{7}{15}\)。或\(P=\cfrac{C_2^2+C_4^2}{C_6^2}=\cfrac{7}{15}\).

【2018江西南昌二模】在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有\(2^3＝8\)种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻、三个阴爻的概率是【】

$A.\cfrac{1}{7}$ $B.\cfrac{9}{16}$ $C.\cfrac{5}{16}$ $D.\cfrac{5}{8}$

分析：六爻共有\(2^6=64\)种，其中三阳爻三阴爻有\(C_6^3=20\)种，说明：相当于从\((阳+阴)^6\)展开式中取三阳爻三阴爻，故有\(C_6^3\cdot C_3^3=20\)种，则所求概率为\(P=\cfrac{20}{64}=\cfrac{5}{16}\)，故选\(C\)。

【2019届高三理科数学模拟训练用题】某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”，“和谐福”，“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为【】

$A.\cfrac{3}{8}$ $B.\cfrac{8}{27}$ $C.\cfrac{4}{9}$ $D.\cfrac{8}{9}$

法1：用古典概型求解，由于每袋中都装有3种卡片之一，故买4袋食品得到的卡片的构成方式共有\(3^4=81\)种，

而要能获奖的情形之一是得到\(2\)张富强福，\(1\)张友善福，\(1\)张和谐福，相当于从\((富强+和谐+友善)^4\)的中，

按照如此的思路利用组合法抽取得到，\(C_4^2\cdot 富\cdot C_2^1\cdot 和\cdot C_1^1\cdot 友\)，

即有\(C_4^2\cdot C_2^1\cdot C_1^1=12\)种，而这样的获奖情形还有其他两种相同的情形，

比如得到\(2\)张和谐福，\(1\)张富强福，\(1\)张友善福和\(2\)张友善福，\(1\)张富强福，\(1\)张和谐福，

故获奖的所有情形有\(C_4^2\cdot C_2^1\cdot C_1^1\cdot 3=36\)种，则获奖概率为\(P=\cfrac{36}{81}=\cfrac{4}{9}\)，故选\(C\).

法2：利用相互独立事件的概率求解；由于每袋中抽到三张卡片之一的概率都相等，都是\(\cfrac{1}{3}\)，故可以这样求解，

相当于从\((\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3})^4\)的展开式中，按照如下的思路来抽取，则有

即\(C_4^2\cdot (\cfrac{1}{3})^2\cdot C_2^1\cdot \cfrac{1}{3}\cdot C_1^1\cdot \cfrac{1}{3}\cdot 3=\cfrac{4}{9}\)。

法3：保底法，买4袋食品得到的卡片的构成方式共有\(3^4=81\)种，获奖情形共有\(C_4^1\cdot C_3^1\cdot C_2^1\cdot 3=72\)，故所求概率为\(P=\cfrac{72}{81}=\cfrac{8}{9}\)。这是最容易错误的解法，错误原因是保底法的计数极其容易造成重复，但又不容易自知。